Determine o polinômio de Taylor de ordem 2 de f em torno de x0 e usando um software desenhe os gráficos da função e do polinômio de Taylor numa vizinhança do ponto especificado.
senh(x) em torno de 0

Passo 1

O enunciado pede o polinômio de Taylor de ordem 2 da função f(x)=senh(x) em torno de x0=0 e, em seguida, que tracemos usando um software os gráficos de f(x) e desse polinômio numa vizinhança de 0. O conteúdo aqui é série de Taylor e precisamos calcular as derivadas de f até a segunda ordem em x=0.

Passo 2

Como f(x)=senh(x), suas derivadas são
f'(x)=cosh(x), f''(x)=sinh(x)
Avaliando em x=0 temos:
f(0)=0,
f'(0)=cosh(0)=1,
f''(0)=sinh(0)=0.

Passo 3

O polinômio de Taylor de ordem 2 em torno de 0 é dado por
T2(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)2x^2 = 0+1cdot x + 02x^2=x

Passo 4

Para visualizar, podemos usar Python com Matplotlib. Por exemplo:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
x = np.linspace(-2,2,400)
y = np.sinh(x)
t2 = x
plt.plot(x,y,label=‘senh(x)’)
plt.plot(x,t2,label=‘T2(x)=x’,linestyle=’–’)
plt.axhline(0,color=‘gray’)
plt.axvline(0,color=‘gray’)
plt.legend()
plt.show()
Isso mostra senh(x) e seu polinômio de Taylor de ordem 2 na vizinhança de 0.

Resposta

O polinômio de Taylor de ordem 2 de senh(x) em torno de 0 é T2(x)=x.

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