Calcule a integral indefinida.
y=2 x-1x^2+x

Passo 1

A gente precisa achar a primitiva da função y = 2x-1x^2 + x. O tema aqui é integração de funções racionais usando decomposição em frações parciais, então vamos fatorar o denominador e separar em termos mais simples para integrar.

Passo 2

Primeiro, fatoramos o denominador x^2 + x. Em bloco:
x^2 + x = x,(x + 1)
Isso nos mostra que a função é da forma (2x-1)/[x(x+1)].

Passo 3

Em seguida, fazemos a decomposição em frações parciais assumindo constantes A e B:
2x - 1x(x + 1) = Ax + Bx + 1
Multiplicando ambos os lados por x(x+1) dá:
2x - 1 = A(x + 1) + Bx

Passo 4

Agora, igualamos coeficientes de x e termos constantes em A(x+1) + Bx = (A+B)x + A e comparamos com 2x - 1:
  • Coeficiente de x: A + B = 2
  • Termo constante: A = -1
    Daí tiramos A = -1 e, em seguida, B = 2 - A = 2 - (-1) = 3

Passo 5

Com isso, reescrevemos o integrando como soma de termos simples:
2x - 1x(x + 1) = -1x + 3x + 1
Agora a integral vira
integral 2x - 1x^2 + x ,dx = integral l(-1x + 3x+1r) dx

Passo 6

Por fim, integramos termo a termo usando que integral 1u du = ln|u| + C:
integral -1x dx = -ln|x| + C1,
integral 3x+1 dx = 3ln|x+1| + C2
Juntando as constantes em um único C, obtemos a primitiva desejada.

Resposta

-ln|x| + 3,ln|x+1| + C

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