Encontre o volume do sólido gerado pela rotação da região delimitada pelas parȧbolas y=x^2 e y=1-x-x^2 ao redor da reta x=2.

Passo 1

A questão pede para calcular o volume do sólido gerado ao girar a região limitada pelas parábolas y = x^{2} e y = 1 - x - x^{2} em torno da reta x = 2. O conteúdo aqui é Cálculo de Volume pelo Método das Cascas Cilíndricas; vamos precisar encontrar pontos de interseção, montar a casca (raio e altura) e integrar.

Passo 2

Primeiro, achamos os pontos de interseção resolvendo x^{2} = 1 - x - x^{2}. Isso dá 2x^{2} + x - 1 = 0, cujas raízes são x = -1 e x = \tfrac12. Esses serão os limites de integração.

Passo 3

Como o eixo de rotação é vertical (x = 2), usamos o método das cascas cilíndricas. A cada fatia dx a uma distância r do eixo formamos uma casca de raio r = 2 - x e altura h = y_{sup} - y_{inf} = (1 - x - x^{2}) - x^{2} = 1 - x - 2x^{2}.

Passo 4

O volume de cada casca é dV = 2\pi r,h,dx. Logo, o volume total é dado por:
V = 2pi integral-1^1/2 (2 - x)l(1 - x - 2x^2r),dx

Passo 5

Agora expandimos o integrando:
(2 - x)(1 - x - 2x^2) = 2 - 3x - 3x^2 + 2x^3
Assim ficamos com
V = 2pi integral-1^1/2 l(2 - 3x - 3x^2 + 2x^3r),dx
A primitiva é
integrall(2 - 3x - 3x^2 + 2x^3r),dx = 2x - tfrac32 x^2 - x^3 + tfrac12 x^4

Passo 6

Por fim, avaliamos de x = -1 a x = \tfrac12:
l[2x - tfrac32 x^2 - x^3 + tfrac12 x^4r]-1^1/2 = tfrac8132
Multiplicando por 2\pi, obtemos
V = 2pi cdot tfrac8132 = tfrac81pi16

Resposta

tfrac81pi16

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