Encontre o volume do sólido gerado pela rotação da região delimitada pelas parȧbolas
e
ao redor da reta
.
Passo 1
A questão pede para calcular o volume do sólido gerado ao girar a região limitada pelas parábolas y = x^{2} e y = 1 - x - x^{2} em torno da reta x = 2. O conteúdo aqui é Cálculo de Volume pelo Método das Cascas Cilíndricas; vamos precisar encontrar pontos de interseção, montar a casca (raio e altura) e integrar.
Passo 2
Primeiro, achamos os pontos de interseção resolvendo x^{2} = 1 - x - x^{2}. Isso dá 2x^{2} + x - 1 = 0, cujas raízes são x = -1 e x = \tfrac12. Esses serão os limites de integração.
Passo 3
Como o eixo de rotação é vertical (x = 2), usamos o método das cascas cilíndricas. A cada fatia dx a uma distância r do eixo formamos uma casca de raio r = 2 - x e altura h = y_{sup} - y_{inf} = (1 - x - x^{2}) - x^{2} = 1 - x - 2x^{2}.
Passo 4
O volume de cada casca é dV = 2\pi r,h,dx. Logo, o volume total é dado por:
Passo 5
Agora expandimos o integrando:
Assim ficamos com
A primitiva é
Passo 6
Por fim, avaliamos de x = -1 a x = \tfrac12:
Multiplicando por 2\pi, obtemos