Calcule a integral indicada e confira as respostas, derivando-as.
\int \frac{10 x^{3}-5 x}{\sqrt{x^{4}-x^{2}+6}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{10 x^{3}-5 x}{\sqrt{x^{4}-x^{2}+6}}\,dx
e depois conferir a resposta derivando-a. Informações relevantes dadas:
  • O numerador é o polinômio \,10x^{3}-5x\,.
  • O denominador é \sqrt{x^{4}-x^{2}+6}.
  • Queremos uma primitiva (antiderivada) e depois verificar que a derivada dessa primitiva retorna a função integranda.

Passo 2

Observação útil (motivação para o passo seguinte): dentro da raiz aparece a função \,x^{4}-x^{2}+6. Quando vemos uma função composta como \sqrt{(\cdot)} e o numerador é um polinômio, é natural checar se o numerador é proporcional à derivada do que está dentro da raiz. Se for, uma substituição simples resolve a integral.

Passo 3

Calcule a derivada da função dentro da raiz e compare com o numerador. Seja
u = x^{4}-x^{2}+6.
Então
du = (4x^{3}-2x)\,dx = 2(2x^{3}-x)\,dx.
Note que o numerador pode ser escrito como
10x^{3}-5x = 5(2x^{3}-x).
Da relação acima temos
(2x^{3}-x)\,dx = \frac{du}{2},
portanto
(10x^{3}-5x)\,dx = 5(2x^{3}-x)\,dx = 5\cdot\frac{du}{2} = \frac{5}{2}\,du.

Passo 4

Reescrevendo a integral em termos de u: a raiz \sqrt{x^{4}-x^{2}+6} é \sqrt{u}. Substituindo temos
\int \frac{10 x^{3}-5 x}{\sqrt{x^{4}-x^{2}+6}}\,dx = \int \frac{\frac{5}{2}\,du}{\sqrt{u}} = \frac{5}{2}\int u^{-1/2}\,du.

Passo 5

Calcule a integral em u. Usando a regra de potência para integrais \int u^{n}\,du=\dfrac{u^{n+1}}{n+1}+C (para n\neq -1), com n=-\tfrac{1}{2} temos
\int u^{-1/2}\,du = \frac{u^{1/2}}{1/2} = 2u^{1/2}.
Multiplicando pelo fator \tfrac{5}{2} obtemos a primitiva
\frac{5}{2}\cdot 2u^{1/2} = 5u^{1/2}.
Voltando para x,
\text{primitiva} = 5\sqrt{x^{4}-x^{2}+6} + C.

Passo 6

Conferência: derivamos a primitiva para verificar. Seja F(x)=5\sqrt{x^{4}-x^{2}+6}. Usando a regra da cadeia:
F'(x)=5\cdot\frac{1}{2\sqrt{x^{4}-x^{2}+6}}\cdot(4x^{3}-2x).
Simplificando:
F'(x)=\frac{5(4x^{3}-2x)}{2\sqrt{x^{4}-x^{2}+6}}=\frac{20x^{3}-10x}{2\sqrt{x^{4}-x^{2}+6}}=\frac{10x^{3}-5x}{\sqrt{x^{4}-x^{2}+6}}.
Isso coincide exatamente com a função integranda, portanto a primitiva está correta.

Resposta

5\sqrt{x^{4}-x^{2}+6}+C

Exercícios relacionados