Calcule a integral indicada e confira as respostas, derivando-as.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
e depois conferir a resposta derivando-a. Informações relevantes dadas:
- O numerador é o polinômio
. - O denominador é
. - Queremos uma primitiva (antiderivada) e depois verificar que a derivada dessa primitiva retorna a função integranda.
Passo 2
Observação útil (motivação para o passo seguinte): dentro da raiz aparece a função
. Quando vemos uma função composta como
e o numerador é um polinômio, é natural checar se o numerador é proporcional à derivada do que está dentro da raiz. Se for, uma substituição simples resolve a integral.
Passo 3
Calcule a derivada da função dentro da raiz e compare com o numerador. Seja
Então
Note que o numerador pode ser escrito como
Da relação acima temos
portanto
Passo 4
Reescrevendo a integral em termos de
: a raiz
é
. Substituindo temos
Passo 5
Calcule a integral em
. Usando a regra de potência para integrais
(para
), com
temos
Multiplicando pelo fator
obtemos a primitiva
Voltando para
,
Passo 6
Conferência: derivamos a primitiva para verificar. Seja
. Usando a regra da cadeia:
Simplificando:
Isso coincide exatamente com a função integranda, portanto a primitiva está correta.