Calcule a integral indicada e confira as respostas, derivando-as.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
e em seguida conferir a resposta derivando a primitiva encontrada. Informação importante dada: o integrando é a função racional
. Não resolvo nada ainda — só identifiquei o que é pedido e o que foi dado.
Passo 2
Observo a forma do denominador. Vou tentar reconhecê-lo como um quadrado perfeito. Faço a expansão (ou fatoração):
Logo o denominador é exatamente
. Isso simplifica bastante a integral.
Passo 3
Fatoro o numerador para ver se aparece exatamente o fator
:
Então o integrando fica com um fator
sobre
.
Passo 4
Faço a simplificação algébrica do integrando usando as identidades dos passos anteriores:
Portanto a integral original reduz-se a
Passo 5
Uso a fórmula básica de integrais do tipo
. Lembrete didático: se
, então
e
Aqui
e
. Aplicando essa fórmula com o fator constante
à frente:
Passo 6
Mostro um método alternativo (útil na prova): notar que a derivada do denominador
é
Como o numerador é
, temos
. Assim, com a substituição
,
, a integral fica
Verificação rápida da equivalência: como
, temos
Portanto as duas formas são as mesmas, apenas escritas de maneiras diferentes.
Passo 7
Agora faço a checagem derivando a primitiva
para confirmar que obtenho o integrando original. Uso regra da cadeia:
Volto da forma simplificada para a forma original do integrando:
que é exatamente o integrando dado. A derivação confere perfeitamente.