Calcule a integral indicada e confira as respostas, derivando-as.
\int \frac{6 x-3}{4 x^{2}-4 x+1} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{6x-3}{4x^{2}-4x+1}\,dx
e em seguida conferir a resposta derivando a primitiva encontrada. Informação importante dada: o integrando é a função racional \frac{6x-3}{4x^{2}-4x+1}. Não resolvo nada ainda — só identifiquei o que é pedido e o que foi dado.

Passo 2

Observo a forma do denominador. Vou tentar reconhecê-lo como um quadrado perfeito. Faço a expansão (ou fatoração):
(2x-1)^{2} = 4x^{2}-4x+1.
Logo o denominador é exatamente (2x-1)^{2}. Isso simplifica bastante a integral.

Passo 3

Fatoro o numerador para ver se aparece exatamente o fator 2x-1:
6x-3 = 3(2x-1).
Então o integrando fica com um fator (2x-1) sobre (2x-1)^{2}.

Passo 4

Faço a simplificação algébrica do integrando usando as identidades dos passos anteriores:
\frac{6x-3}{4x^{2}-4x+1}=\frac{3(2x-1)}{(2x-1)^{2}}=\frac{3}{2x-1}.
Portanto a integral original reduz-se a
\int \frac{3}{2x-1}\,dx.

Passo 5

Uso a fórmula básica de integrais do tipo \displaystyle\int \frac{1}{ax+b}\,dx. Lembrete didático: se u=ax+b, então du=a\,dx e
\int \frac{1}{ax+b}\,dx=\int \frac{1}{u}\cdot\frac{du}{a}=\frac{1}{a}\ln|u|+C=\frac{1}{a}\ln|ax+b|+C.
Aqui a=2 e b=-1. Aplicando essa fórmula com o fator constante 3 à frente:
\int \frac{3}{2x-1}\,dx = 3\cdot\int \frac{1}{2x-1}\,dx = 3\cdot\frac{1}{2}\ln|2x-1|+C=\frac{3}{2}\ln|2x-1|+C.

Passo 6

Mostro um método alternativo (útil na prova): notar que a derivada do denominador \,4x^{2}-4x+1 é
\frac{d}{dx}(4x^{2}-4x+1)=8x-4=4(2x-1).
Como o numerador é 6x-3=3(2x-1), temos 6x-3=\tfrac{3}{4}(8x-4)=\tfrac{3}{4}\,\frac{d}{dx}(4x^{2}-4x+1). Assim, com a substituição t=4x^{2}-4x+1, dt=(8x-4)\,dx, a integral fica
\int \frac{6x-3}{4x^{2}-4x+1}\,dx = \frac{3}{4}\int \frac{dt}{t} = \frac{3}{4}\ln|t|+C = \frac{3}{4}\ln|4x^{2}-4x+1|+C.
Verificação rápida da equivalência: como 4x^{2}-4x+1=(2x-1)^{2}, temos
\frac{3}{4}\ln|4x^{2}-4x+1|=\frac{3}{4}\ln\big((2x-1)^{2}\big)=\frac{3}{4}\cdot 2\ln|2x-1|=\frac{3}{2}\ln|2x-1|.
Portanto as duas formas são as mesmas, apenas escritas de maneiras diferentes.

Passo 7

Agora faço a checagem derivando a primitiva \displaystyle F(x)=\frac{3}{2}\ln|2x-1|+C para confirmar que obtenho o integrando original. Uso regra da cadeia:
F'(x)=\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{2x-1}\cdot\frac{d}{dx}(2x-1)=\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{2x-1}\cdot 2=\frac{3}{2x-1}.
Volto da forma simplificada para a forma original do integrando:
\frac{3}{2x-1}=\frac{3(2x-1)}{(2x-1)^{2}}=\frac{6x-3}{4x^{2}-4x+1},
que é exatamente o integrando dado. A derivação confere perfeitamente.

Resposta

\displaystyle \frac{3}{2}\ln|2x-1|+C

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