Calcule a integral indicada e confira as respostas, derivando-as.
\int(x+1)\left(x^{2}+2 x+5\right)^{12} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral e em seguida conferir a resposta derivando-a. A integral dada é
\int (x+1)\left(x^{2}+2x+5\right)^{12}\,dx.
Informações relevantes do enunciado:
  • A função a ser integrada é o produto de (x+1) por \left(x^{2}+2x+5\right)^{12}.
  • É pedido também checar a resposta obtida derivando-a (ou seja, confirmar que a derivada da primitiva é a integranda).
    Não há outras condições nem intervalos; devemos encontrar a primitiva geral (com constante de integração).

Passo 2

Observação-chave (como procurar um “atalho” numa integral): quando vemos uma potência composta \left(g(x)\right)^{n} e aparece multiplicando algo parecido com g'(x), uma substituição do tipo u=g(x) costuma resolver direto. Aqui vamos calcular g'(x) para ver se isso acontece:
g(x)=x^{2}+2x+5 \quad\Rightarrow\quad g'(x)=2x+2=2(x+1).
Repare que g'(x) é 2(x+1), e na integral temos exatamente (x+1). Então fazemos a substituição
u = x^{2}+2x+5.
Agora calcule du:
du = (2x+2)\,dx = 2(x+1)\,dx.
Isolando (x+1)\,dx obtemos
(x+1)\,dx = \frac{du}{2}.
Essa é a parte prática da técnica: transformar toda a integral em termos de u e du.

Passo 3

Substituímos na integral original usando u e (x+1)\,dx=\dfrac{du}{2}:
\int (x+1)\left(x^{2}+2x+5\right)^{12}\,dx = \int \left(u^{12}\right)\left(\frac{du}{2}\right).
Fatorando a constante \dfrac{1}{2}:
= \frac{1}{2}\int u^{12}\,du.
Agora aplicamos a regra de potência para integrais: para n\neq -1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C.
Aqui n=12, então
\int u^{12}\,du = \frac{u^{13}}{13} + C.
Multiplicando pela constante \dfrac{1}{2} obtemos a primitiva em u:
\frac{1}{2}\cdot\frac{u^{13}}{13} + C = \frac{u^{13}}{26} + C.

Passo 4

Voltando à variável original x (substituição inversa u=x^{2}+2x+5):
\int (x+1)\left(x^{2}+2x+5\right)^{12}\,dx = \frac{\left(x^{2}+2x+5\right)^{13}}{26} + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Agora conferimos derivando a primitiva encontrada, para checar se recuperamos a integranda. Seja
F(x)=\frac{\left(x^{2}+2x+5\right)^{13}}{26}.
Usamos a regra da cadeia para derivar F. A derivada de \left(x^{2}+2x+5\right)^{13} é
13\left(x^{2}+2x+5\right)^{12}\cdot(2x+2),
portanto
F'(x)=\frac{1}{26}\cdot 13\left(x^{2}+2x+5\right)^{12}(2x+2).
Simplificando os coeficientes: \dfrac{13}{26}=\dfrac{1}{2}, e 2x+2=2(x+1), então
F'(x)=\frac{1}{2}\cdot 2(x+1)\left(x^{2}+2x+5\right)^{12}=(x+1)\left(x^{2}+2x+5\right)^{12}.
Isso é exatamente a integranda original, portanto a primitiva está correta.

Resposta

\displaystyle \frac{\left(x^{2}+2x+5\right)^{13}}{26}+C

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