Calcule a integral indicada e confira as respostas, derivando-as.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral e em seguida conferir a resposta derivando-a. A integral dada é
Informações relevantes do enunciado:
- A função a ser integrada é o produto de
por . - É pedido também checar a resposta obtida derivando-a (ou seja, confirmar que a derivada da primitiva é a integranda).
Não há outras condições nem intervalos; devemos encontrar a primitiva geral (com constante de integração).
Passo 2
Observação-chave (como procurar um “atalho” numa integral): quando vemos uma potência composta
e aparece multiplicando algo parecido com
, uma substituição do tipo
costuma resolver direto. Aqui vamos calcular
para ver se isso acontece:
Repare que
é
, e na integral temos exatamente
. Então fazemos a substituição
Agora calcule
:
Isolando
obtemos
Essa é a parte prática da técnica: transformar toda a integral em termos de
e
.
Passo 3
Substituímos na integral original usando
e
:
Fatorando a constante
:
Agora aplicamos a regra de potência para integrais: para
,
Aqui
, então
Multiplicando pela constante
obtemos a primitiva em
:
Passo 4
Voltando à variável original
(substituição inversa
):
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Agora conferimos derivando a primitiva encontrada, para checar se recuperamos a integranda. Seja
Usamos a regra da cadeia para derivar
. A derivada de
é
portanto
Simplificando os coeficientes:
, e
, então
Isso é exatamente a integranda original, portanto a primitiva está correta.