e depois conferir a resposta derivando a primitiva encontrada. Informações dadas: numerador \,3 x^{4}+12 x^{3}+6, e denominador \,x^{5}+5 x^{4}+10 x+12.
Passo 2
Primeira observação útil: calcular a derivada do denominador para ver se há um padrão com o numerador. Diferenciando \,x^{5}+5 x^{4}+10 x+12 obtemos
Explicação didática do passo essencial: sempre que a integral tem a forma \int \frac{f'(x)}{f(x)}\,dx, o resultado é \ln|f(x)|+C. Aqui havia um fator constante \frac{3}{5}, então o resultado ficou \frac{3}{5}\ln|f(x)|+C. A presença do valor absoluto vem porque \ln só está definido para argumentos positivos, e a primitiva válida para funções reais usa \ln|\,\cdot\,|.
Passo 8
Conferência: derivar a primitiva encontrada para verificar se volta ao integrando. Seja
que é exatamente o integrando. Portanto a primitiva está correta.
Passo 9
Exemplo extra rápido (para fixar): se tivéssemos \int \frac{2x}{x^{2}+1}\,dx, note que \frac{d}{dx}(x^{2}+1)=2x, então o resultado é \ln|x^{2}+1|+C. Mesmo padrão usado no problema.