Calcule a integral indicada e confira as respostas, derivando-as.
\int \frac{3 x^{4}+12 x^{3}+6}{x^{5}+5 x^{4}+10 x+12} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{3 x^{4}+12 x^{3}+6}{x^{5}+5 x^{4}+10 x+12}\,dx
e depois conferir a resposta derivando a primitiva encontrada. Informações dadas: numerador \,3 x^{4}+12 x^{3}+6, e denominador \,x^{5}+5 x^{4}+10 x+12.

Passo 2

Primeira observação útil: calcular a derivada do denominador para ver se há um padrão com o numerador. Diferenciando \,x^{5}+5 x^{4}+10 x+12 obtemos
\frac{d}{dx}\big(x^{5}+5 x^{4}+10 x+12\big)=5x^{4}+20x^{3}+10.

Passo 3

Agora compare o numerador com essa derivada. Multiplicando a derivada por \frac{3}{5} temos
\frac{3}{5}\big(5x^{4}+20x^{3}+10\big)=3x^{4}+12x^{3}+6,
que é exatamente o numerador da integral. Ou seja,
3x^{4}+12x^{3}+6=\frac{3}{5}\frac{d}{dx}\big(x^{5}+5 x^{4}+10 x+12\big).

Passo 4

Esse padrão sugere a substituição clássica u= denominador. Defina
u=x^{5}+5 x^{4}+10 x+12.
Então
du=\big(5x^{4}+20x^{3}+10\big)\,dx.
Como vimos, o numerador é \frac{3}{5} vezes essa expressão, logo
(3x^{4}+12x^{3}+6)\,dx=\frac{3}{5}\big(5x^{4}+20x^{3}+10\big)\,dx=\frac{3}{5}\,du.

Passo 5

Substituindo na integral obtemos
\int \frac{3 x^{4}+12 x^{3}+6}{x^{5}+5 x^{4}+10 x+12}\,dx = \int \frac{\frac{3}{5}\,du}{u} = \frac{3}{5}\int \frac{du}{u}.
Aqui usamos a regra básica de integrais: \int \frac{1}{u}\,du=\ln|u|+C.

Passo 6

Portanto a integral é
\frac{3}{5}\ln|u|+C.
Voltando à variável x (substituindo u de volta), obtemos a primitiva
F(x)=\frac{3}{5}\ln\big|x^{5}+5 x^{4}+10 x+12\big|+C.

Passo 7

Explicação didática do passo essencial: sempre que a integral tem a forma \int \frac{f'(x)}{f(x)}\,dx, o resultado é \ln|f(x)|+C. Aqui havia um fator constante \frac{3}{5}, então o resultado ficou \frac{3}{5}\ln|f(x)|+C. A presença do valor absoluto vem porque \ln só está definido para argumentos positivos, e a primitiva válida para funções reais usa \ln|\,\cdot\,|.

Passo 8

Conferência: derivar a primitiva encontrada para verificar se volta ao integrando. Seja
F(x)=\frac{3}{5}\ln\big|x^{5}+5 x^{4}+10 x+12\big|.
Derivando usando a regra da cadeia e a derivada do log:
F'(x)=\frac{3}{5}\cdot\frac{1}{x^{5}+5 x^{4}+10 x+12}\cdot\big(5x^{4}+20x^{3}+10\big).
Simplificando o fator \frac{3}{5} com 5 obtemos
F'(x)=\frac{3x^{4}+12x^{3}+6}{x^{5}+5 x^{4}+10 x+12},
que é exatamente o integrando. Portanto a primitiva está correta.

Passo 9

Exemplo extra rápido (para fixar): se tivéssemos \int \frac{2x}{x^{2}+1}\,dx, note que \frac{d}{dx}(x^{2}+1)=2x, então o resultado é \ln|x^{2}+1|+C. Mesmo padrão usado no problema.

Resposta

\displaystyle \frac{3}{5}\ln\big|x^{5}+5 x^{4}+10 x+12\big|+C

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