Calcule a integral indicada e confira as respostas, derivando-as.
\int \frac{2 x \ln \left(x^{2}+1\right)}{x^{2}+1} d x

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: calcular a integral
\int \frac{2 x \ln \left(x^{2}+1\right)}{x^{2}+1}\,d x
e conferir a resposta derivando o antiderivado obtido.
Informações relevantes dadas pelo enunciado: a variável de integração é x; a expressão x^{2}+1 aparece dentro do logaritmo e no denominador; para todo x\in\mathbb{R} temos x^{2}+1>0, então \ln(x^{2}+1) está bem definido.

Passo 2

Vamos transformar a integral por meio de uma mudança de variável (substituição). A ideia é identificar uma expressão cujo diferencial apareça na integral. Observe que x^{2}+1 aparece tanto no logaritmo quanto no denominador, e o numerador tem um fator 2x\,dx, que é exatamente a derivada de x^{2}+1 (até constante). Então fazemos a substituição
u = x^{2}+1.
Agora calculamos o diferencial:
du = 2x\,dx.
Essa igualdade permite substituir 2x\,dx por du e x^{2}+1 por u na integral.

Passo 3

Aplicando a substituição na integral original obtemos
\int \frac{2 x \ln \left(x^{2}+1\right)}{x^{2}+1}\,d x =\int \frac{\ln(u)}{u}\,du.
Expliquei antes por que isto vale: trocamos x^{2}+1 por u e 2x\,dx por du.

Passo 4

Agora integramos \displaystyle \int \frac{\ln(u)}{u}\,du. Uma maneira muito direta é notar que se definirmos v=\ln(u) então dv=\frac{1}{u}\,du. Assim
\int \frac{\ln(u)}{u}\,du=\int v\,dv=\frac{v^{2}}{2}+C=\frac{(\ln u)^{2}}{2}+C.
Outra forma equivalente é observar que a derivada de \frac{1}{2}(\ln u)^{2} é \ln(u)\cdot\frac{1}{u}, pelo uso da regra da cadeia.

Passo 5

Voltando à variável x (substituindo u=x^{2}+1) obtemos um antiderivado da integral original:
F(x)=\frac{1}{2}\bigl(\ln(x^{2}+1)\bigr)^{2}+C.
Esse é o resultado final da integração (antes de conferir).

Passo 6

Agora vamos conferir derivando F(x). Usamos a regra da cadeia e a derivada do logaritmo. Começamos por escrever a derivada:
\frac{d}{dx}F(x)=\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{2}\bigl(\ln(x^{2}+1)\bigr)^{2}\right].
Aplicando a regra da cadeia: se G(x)=\frac{1}{2}(\varphi(x))^{2}, então G'(x)=\varphi(x)\cdot\varphi'(x). Aqui \varphi(x)=\ln(x^{2}+1). Então
\frac{d}{dx}F(x)=\ln(x^{2}+1)\cdot\frac{d}{dx}\bigl(\ln(x^{2}+1)\bigr).
Agora calculamos \displaystyle \frac{d}{dx}\bigl(\ln(x^{2}+1)\bigr). Pela regra da cadeia e pela derivada do logaritmo,
\frac{d}{dx}\bigl(\ln(x^{2}+1)\bigr)=\frac{1}{x^{2}+1}\cdot\frac{d}{dx}(x^{2}+1)=\frac{1}{x^{2}+1}\cdot 2x=\frac{2x}{x^{2}+1}.
Substituindo isto em F'(x) obtemos
F'(x)=\ln(x^{2}+1)\cdot\frac{2x}{x^{2}+1}=\frac{2x\ln(x^{2}+1)}{x^{2}+1},
que é exatamente o integrando original. Logo a verificação está correta.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}\bigl(\ln(x^{2}+1)\bigr)^{2}+C

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