Calcule a integral indicada e confira as respostas, derivando-as.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: calcular a integral
e conferir a resposta derivando o antiderivado obtido.
Informações relevantes dadas pelo enunciado: a variável de integração é ; a expressão
aparece dentro do logaritmo e no denominador; para todo
temos
, então
está bem definido.
Informações relevantes dadas pelo enunciado: a variável de integração é
Passo 2
Vamos transformar a integral por meio de uma mudança de variável (substituição). A ideia é identificar uma expressão cujo diferencial apareça na integral. Observe que
aparece tanto no logaritmo quanto no denominador, e o numerador tem um fator
, que é exatamente a derivada de
(até constante). Então fazemos a substituição
Agora calculamos o diferencial:
Essa igualdade permite substituir
por
e
por
na integral.
Passo 3
Aplicando a substituição na integral original obtemos
Expliquei antes por que isto vale: trocamos
por
e
por
.
Passo 4
Agora integramos
. Uma maneira muito direta é notar que se definirmos
então
. Assim
Outra forma equivalente é observar que a derivada de
é
, pelo uso da regra da cadeia.
Passo 5
Voltando à variável
(substituindo
) obtemos um antiderivado da integral original:
Esse é o resultado final da integração (antes de conferir).
Passo 6
Agora vamos conferir derivando
. Usamos a regra da cadeia e a derivada do logaritmo. Começamos por escrever a derivada:
Aplicando a regra da cadeia: se
, então
. Aqui
. Então
Agora calculamos
. Pela regra da cadeia e pela derivada do logaritmo,
Substituindo isto em
obtemos
que é exatamente o integrando original. Logo a verificação está correta.