Calcule a integral indicada e confira as respostas, derivando-as.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
e depois conferir a resposta derivando-a. Informações relevantes: a expressão
só está definida (como número real) para
, e em
temos
fazendo a função
ficar singular. Então devemos trabalhar em intervalos onde
e
(por exemplo
ou
).
Passo 2
Estratégia (expliquei o porquê de escolher isso): note que aparece
no denominador e também há um fator
. Isso sugere a substituição
porque a derivada de
é
, que está presente no integrando. A substituição transforma a integral para uma forma mais simples.
Passo 3
Calculemos a diferencial da substituição para trocar as variáveis corretamente:
Reescrevendo o integrando usando
e
:
Aqui usei diretamente que
e substituí
por
.
Passo 4
Agora integramos
. Conhecimento importante: a primitiva de
é
. Explico por quê: a derivada de
é
para
, então
O valor absoluto é necessário porque
pode ser negativo (no nosso caso
é negativo quando
).
Passo 5
Volta à variável
(retro-substituição): substituindo
obtemos a primitiva da integral original:
Observação sobre domínio: essa expressão é válida para
com
; em cada intervalo
e
temos uma primitiva dada por
(o
pode ser diferente em cada intervalo).
Passo 6
Conferência (derivando a resposta): seja
Usando a regra da cadeia, a derivada é
para
e
. Essa derivada coincide com o integrando, o que confirma que
é uma primitiva correta.