Calcule a integral indicada e confira as respostas, derivando-as.
\int \frac{1}{x \ln x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{1}{x\ln x}\,dx
e depois conferir a resposta derivando-a. Informações relevantes: a expressão \ln x só está definida (como número real) para x>0, e em x=1 temos \ln x=0 fazendo a função 1/(x\ln x) ficar singular. Então devemos trabalhar em intervalos onde x>0 e x\neq1 (por exemplo (0,1) ou (1,\infty)).

Passo 2

Estratégia (expliquei o porquê de escolher isso): note que aparece \ln x no denominador e também há um fator 1/x. Isso sugere a substituição
u=\ln x,
porque a derivada de \ln x é \dfrac{1}{x}, que está presente no integrando. A substituição transforma a integral para uma forma mais simples.

Passo 3

Calculemos a diferencial da substituição para trocar as variáveis corretamente:
u=\ln x \quad\Rightarrow\quad du=\frac{1}{x}\,dx.
Reescrevendo o integrando usando u e du:
\int \frac{1}{x\ln x}\,dx=\int \frac{1}{u}\,du.
Aqui usei diretamente que \dfrac{dx}{x}=du e substituí \ln x por u.

Passo 4

Agora integramos \displaystyle \int \frac{1}{u}\,du. Conhecimento importante: a primitiva de 1/u é \ln|u|+C. Explico por quê: a derivada de \ln|u| é \dfrac{1}{u} para u\neq0, então
\int \frac{1}{u}\,du=\ln|u|+C.
O valor absoluto é necessário porque u pode ser negativo (no nosso caso u=\ln x é negativo quando 0<x<1).

Passo 5

Volta à variável x (retro-substituição): substituindo u=\ln x obtemos a primitiva da integral original:
\int \frac{1}{x\ln x}\,dx=\ln|\ln x|+C.
Observação sobre domínio: essa expressão é válida para x>0 com x\neq1; em cada intervalo (0,1) e (1,\infty) temos uma primitiva dada por \ln|\ln x|+C (o C pode ser diferente em cada intervalo).

Passo 6

Conferência (derivando a resposta): seja
F(x)=\ln|\ln x|.
Usando a regra da cadeia, a derivada é
F'(x)=\frac{1}{\ln x}\cdot\frac{d}{dx}(\ln x)=\frac{1}{\ln x}\cdot\frac{1}{x}=\frac{1}{x\ln x},
para x>0 e x\neq1. Essa derivada coincide com o integrando, o que confirma que \ln|\ln x|+C é uma primitiva correta.

Resposta

\ln|\ln x|+C

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