Calcule a integral indicada e confira as respostas, derivando-as.
Passo 1
O enunciado pede que a gente calcule a integral indefinida
e depois confira a resposta derivando a primitiva encontrada. Informações relevantes dadas: a integranda é
; trata‑se de uma integral indefinida, então devemos acrescentar a constante de integração
. Observação técnica: a expressão envolve
, então trabalhamos no domínio
(ou, se precisar,
com cuidado em
).
Passo 2
Escolha do método: observe que aparece
tanto no expoente
quanto no denominador
. Quando uma expressão
aparece dentro de outra função (aqui dentro de
) e também em fatores multiplicativos, a substituição
costuma simplificar muito. Vou usar a substituição
Antes de aplicar, lembro a regra básica de substituição (mudança de variável): se
então
. O objetivo é reescrever toda a integral em termos de
e
.
Passo 3
Calcule
a partir de
. Como
, temos
Assim
Alternativamente, escrevendo
dá diretamente
. Usarei esta forma substituta:
e
.
Passo 4
Reescrevendo a integranda em
: substitua
,
e obtenha
No integrando o fator
no numerador e no denominador se cancelam, ficando
Passo 5
Agora integramos em
. A integral de
em relação a
é
. Logo
onde
é a constante de integração. Este é o antiderivado em termos de
. Para voltar à variável original, basta substituir
(a forma explícita em
será colocada na seção final de resposta).
Passo 6
Verificação derivando a primitiva em termos de
e usando a regra da cadeia. Tome a primitiva em
,
A derivada de
em relação a
é, pela regra da cadeia,
Aqui
e, como calculamos antes,
. Então
Voltando a
(substituindo
) obtemos
que é exatamente a integranda original. Portanto a primitiva conferida está correta.