Calcule a integral indicada e confira as respostas, derivando-as.
\int \frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} d x

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule a integral indefinida
\int \frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}\,dx
e depois confira a resposta derivando a primitiva encontrada. Informações relevantes dadas: a integranda é \frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}; trata‑se de uma integral indefinida, então devemos acrescentar a constante de integração C. Observação técnica: a expressão envolve \sqrt{x}, então trabalhamos no domínio x>0 (ou, se precisar, x\ge 0 com cuidado em x=0).

Passo 2

Escolha do método: observe que aparece \sqrt{x} tanto no expoente e^{\sqrt{x}} quanto no denominador \sqrt{x}. Quando uma expressão g(x) aparece dentro de outra função (aqui dentro de e^{(\cdot)}) e também em fatores multiplicativos, a substituição u=g(x) costuma simplificar muito. Vou usar a substituição
u=\sqrt{x}.
Antes de aplicar, lembro a regra básica de substituição (mudança de variável): se u=g(x) então du=g'(x)\,dx. O objetivo é reescrever toda a integral em termos de u e du.

Passo 3

Calcule du a partir de u=\sqrt{x}. Como \sqrt{x}=x^{1/2}, temos
\frac{du}{dx}=\frac{1}{2}x^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{x}}.
Assim
du=\frac{1}{2\sqrt{x}}\,dx \quad\Longrightarrow\quad dx=2\sqrt{x}\,du.
Alternativamente, escrevendo x=u^{2} dá diretamente dx=2u\,du. Usarei esta forma substituta: x=u^{2} e dx=2u\,du.

Passo 4

Reescrevendo a integranda em u: substitua \sqrt{x}=u, dx=2u\,du e obtenha
\int \frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}\,dx=\int \frac{e^{u}}{u}\cdot(2u\,du).
No integrando o fator u no numerador e no denominador se cancelam, ficando
\int \frac{e^{u}}{u}\cdot(2u)\,du= \int 2e^{u}\,du.

Passo 5

Agora integramos em u. A integral de e^{u} em relação a u é e^{u}. Logo
\int 2e^{u}\,du = 2e^{u}+C,
onde C é a constante de integração. Este é o antiderivado em termos de u. Para voltar à variável original, basta substituir u=\sqrt{x} (a forma explícita em x será colocada na seção final de resposta).

Passo 6

Verificação derivando a primitiva em termos de u e usando a regra da cadeia. Tome a primitiva em u,
F(u)=2e^{u}+C.
A derivada de F(u(x)) em relação a x é, pela regra da cadeia,
\frac{d}{dx}F(u(x)) = F'(u)\cdot \frac{du}{dx}.
Aqui F'(u)=2e^{u} e, como calculamos antes, \dfrac{du}{dx}=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}=\dfrac{1}{2u}. Então
\frac{d}{dx}F(u(x)) = 2e^{u}\cdot\frac{1}{2u} = \frac{e^{u}}{u}.
Voltando a x (substituindo u=\sqrt{x}) obtemos
\frac{d}{dx}F(u(x)) = \frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}},
que é exatamente a integranda original. Portanto a primitiva conferida está correta.

Resposta

2e^{\sqrt{x}}+C

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