Calcule a integral indicada e confira as respostas, derivando-as.
\int \frac{x^{2}}{\left(x^{3}+5\right)^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{x^{2}}{\left(x^{3}+5\right)^{2}}\,dx
e em seguida conferir a resposta derivando a primitiva encontrada. Informação dada: o integrando é \dfrac{x^{2}}{(x^{3}+5)^{2}}. O que se exige: encontrar uma primitiva (antiderivada) e verificar que a derivada dessa primitiva retorna o integrando.

Passo 2

Observação que nos guia para o método: a expressão dentro do parêntese é \left(x^{3}+5\right) e sua derivada é 3x^{2}, que é muito parecida com o numerador x^{2}. Quando a derivada do que está no denominador aparece (ou é proporcional) no numerador, uma substituição do tipo u= (essa expressão) costuma facilitar muito a integral. Vamos então usar essa substituição.

Passo 3

Faço a substituição
u = x^{3}+5.
Agora calculo o diferencial du. Derivando u em relação a x,
du = 3x^{2}\,dx.
Isolo x^{2}\,dx porque aparece no integrando:
x^{2}\,dx = \frac{1}{3}\,du.

Passo 4

Substituo na integral original trocando x^{2}\,dx por \dfrac{1}{3}\,du e (x^{3}+5) por u. Assim a integral transforma-se em
\int \frac{x^{2}}{(x^{3}+5)^{2}}\,dx = \int \frac{1}{u^{2}}\cdot\left(\frac{1}{3}\,du\right).
Coloco o fator constante fora da integral:
= \frac{1}{3}\int u^{-2}\,du.

Passo 5

Agora uso a regra de potências para integrais: se n\neq -1, então
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui n=-2. Aplicando a regra,
\int u^{-2}\,du = \frac{u^{-1}}{-1} + C = -u^{-1}+C.
Multiplicando pelo \dfrac{1}{3} que estava fora,
\frac{1}{3}\int u^{-2}\,du = \frac{1}{3}\left(-u^{-1}\right)+C = -\frac{1}{3}u^{-1}+C.

Passo 6

Volto à variável original substituindo u = x^{3}+5. Assim a primitiva encontrada é
-\frac{1}{3}\,(x^{3}+5)^{-1} + C,
ou seja
-\frac{1}{3\left(x^{3}+5\right)} + C,
onde C é a constante de integração. Lembre-se: a constante aparece porque integrais indefinidas são famílias de funções que diferem por constantes.

Passo 7

Agora faço a verificação pedida: derivar a primitiva encontrada e mostrar que volta ao integrando. Começo com
F(x) = -\frac{1}{3}\,(x^{3}+5)^{-1}.
Aplico a regra da cadeia para derivar F. A derivada de (x^{3}+5)^{-1} é -1\cdot (x^{3}+5)^{-2} vezes a derivada interna 3x^{2}. Portanto
F'(x) = -\frac{1}{3}\cdot\Big(-1\Big)\,(x^{3}+5)^{-2}\cdot 3x^{2}.
Simplifico os fatores: o -1 e o outro - se cancelam, e o 3 no numerador cancela com o \dfrac{1}{3}:
F'(x) = x^{2}\,(x^{3}+5)^{-2} = \frac{x^{2}}{(x^{3}+5)^{2}}.
Isso é exatamente o integrando original, logo a primitiva está correta.

Resposta

-\dfrac{1}{3\left(x^{3}+5\right)}+C

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