Calcule a integral indicada e confira as respostas, derivando-as.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
e em seguida conferir a resposta derivando a primitiva encontrada. Informação dada: o integrando é
. O que se exige: encontrar uma primitiva (antiderivada) e verificar que a derivada dessa primitiva retorna o integrando.
Passo 2
Observação que nos guia para o método: a expressão dentro do parêntese é
e sua derivada é
, que é muito parecida com o numerador
. Quando a derivada do que está no denominador aparece (ou é proporcional) no numerador, uma substituição do tipo
(essa expressão) costuma facilitar muito a integral. Vamos então usar essa substituição.
Passo 3
Faço a substituição
Agora calculo o diferencial
. Derivando
em relação a
,
Isolo
porque aparece no integrando:
Passo 4
Substituo na integral original trocando
por
e
por
. Assim a integral transforma-se em
Coloco o fator constante fora da integral:
Passo 5
Agora uso a regra de potências para integrais: se
, então
Aqui
. Aplicando a regra,
Multiplicando pelo
que estava fora,
Passo 6
Volto à variável original substituindo
. Assim a primitiva encontrada é
ou seja
onde
é a constante de integração. Lembre-se: a constante aparece porque integrais indefinidas são famílias de funções que diferem por constantes.
Passo 7
Agora faço a verificação pedida: derivar a primitiva encontrada e mostrar que volta ao integrando. Começo com
Aplico a regra da cadeia para derivar
. A derivada de
é
vezes a derivada interna
. Portanto
Simplifico os fatores: o
e o outro
se cancelam, e o
no numerador cancela com o
:
Isso é exatamente o integrando original, logo a primitiva está correta.