Calcule a integral indicada e confira as respostas, derivando-as.
\int \frac{2 x^{4}}{x^{5}+1} d x

Passo 1

O que o exercício pede: calcular a integral
\int \frac{2 x^{4}}{x^{5}+1}\,dx
e depois conferir o resultado, derivando a primitiva obtida.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A função a integrar é a razão \dfrac{2 x^{4}}{x^{5}+1}.
  • Note que a expressão x^{5}+1 aparece no denominador e sua derivada é 5x^{4}. Isso é uma pista importante: o numerador 2x^{4} é proporcional à derivada de x^{5}+1 (proporção 2/5). Guardamos essa observação; ela é suficiente para escolher um caminho prático de solução.

Passo 2

Escolha da mudança de variável (substituição) e por quê:
  • Como vimos, a derivada de x^{5}+1 é 5x^{4}. Quando o numerador de uma fração racional é (ou é proporcional a) a derivada do denominador, é natural tentar a substituição que transforma o denominador numa nova variável, porque isso simplifica a integral para uma forma conhecida.
  • Fazemos a substituição
u = x^{5}+1.

Passo 3

Calcular o diferencial du e relacioná-lo com dx:
  • Diferenciando u em relação a x obtemos
du = 5x^{4}\,dx.
  • Isolando x^{4}\,dx temos
x^{4}\,dx = \frac{1}{5}\,du.
  • Multiplicando por 2 (porque o numerador tem 2x^{4}) obtemos
2x^{4}\,dx = \frac{2}{5}\,du.

Passo 4

Substituir na integral e simplificar:
  • Substituindo u e du na integral original, obtemos
\int \frac{2 x^{4}}{x^{5}+1}\,dx = \int \frac{\frac{2}{5}\,du}{u} = \frac{2}{5}\int \frac{1}{u}\,du.
  • Aqui reduzimos a integral para a forma básica \int \frac{1}{u}\,du, que conhecemos bem.

Passo 5

Integrar a forma básica e voltar para x:
  • A primitiva de \frac{1}{u} é \ln|u| (lembre: usamos valor absoluto porque o logaritmo natural requer argumento positivo; a fórmula \dfrac{d}{du}\ln|u| = \dfrac{1}{u} vale para todo u\neq0).
  • Portanto
\frac{2}{5}\int \frac{1}{u}\,du = \frac{2}{5}\ln|u| + C.
  • Voltando à variável x (substituindo u = x^{5}+1):
\int \frac{2 x^{4}}{x^{5}+1}\,dx = \frac{2}{5}\ln\bigl|x^{5}+1\bigr| + C.

Passo 6

Conferir derivando a primitiva (verificação):
  • Vamos derivar F(x)=\dfrac{2}{5}\ln\bigl|x^{5}+1\bigr| + C e verificar se obtemos o integrando.
  • Usando a regra da cadeia e a derivada de \ln|u|:
F'(x)=\frac{2}{5}\cdot\frac{1}{x^{5}+1}\cdot \frac{d}{dx}(x^{5}+1).
  • Como \dfrac{d}{dx}(x^{5}+1)=5x^{4}, segue
F'(x)=\frac{2}{5}\cdot\frac{1}{x^{5}+1}\cdot 5x^{4}=\frac{2x^{4}}{x^{5}+1}.
  • Isso é exatamente o integrando dado, então a primitiva está correta.

Resposta

\displaystyle \frac{2}{5}\ln\bigl|x^{5}+1\bigr|+C

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