Calcule a integral indicada e confira as respostas, derivando-as.
Passo 1
O que o exercício pede: calcular a integral
e depois conferir o resultado, derivando a primitiva obtida.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A função a integrar é a razão
. - Note que a expressão
aparece no denominador e sua derivada é . Isso é uma pista importante: o numerador é proporcional à derivada de (proporção ). Guardamos essa observação; ela é suficiente para escolher um caminho prático de solução.
Passo 2
Escolha da mudança de variável (substituição) e por quê:
- Como vimos, a derivada de
é . Quando o numerador de uma fração racional é (ou é proporcional a) a derivada do denominador, é natural tentar a substituição que transforma o denominador numa nova variável, porque isso simplifica a integral para uma forma conhecida. - Fazemos a substituição
Passo 3
Calcular o diferencial
e relacioná-lo com
:
- Diferenciando
em relação a obtemos
- Isolando
temos
- Multiplicando por
(porque o numerador tem ) obtemos
Passo 4
Substituir na integral e simplificar:
- Substituindo
e na integral original, obtemos
- Aqui reduzimos a integral para a forma básica
, que conhecemos bem.
Passo 5
Integrar a forma básica e voltar para
:
- A primitiva de
é (lembre: usamos valor absoluto porque o logaritmo natural requer argumento positivo; a fórmula vale para todo ). - Portanto
- Voltando à variável
(substituindo ):
Passo 6
Conferir derivando a primitiva (verificação):
- Vamos derivar
e verificar se obtemos o integrando. - Usando a regra da cadeia e a derivada de
:
- Como
, segue
- Isso é exatamente o integrando dado, então a primitiva está correta.