Calcule a integral indicada e confira as respostas, derivando-as.
\int x^{5} e^{1-x^{6}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int x^{5} e^{1-x^{6}}\,dx.
Informações dadas:
\text{o integrando é }x^{5}e^{1-x^{6}}\quad\text{e a integral é indefinida (há constante de integração).}ééáçã
Objetivo: encontrar uma primitiva da função x\mapsto x^{5}e^{1-x^{6}} e depois conferir a resposta derivando-a.

Passo 2

Observação intuitiva (o truque): dentro do expoente temos 1-x^{6}. A presença de x^{5} multiplicando sugere usar uma substituição do tipo u=1-x^{6}, porque a derivada de x^{6} é 6x^{5}, ou seja, aparece exatamente um fator x^{5}. Isso transforma a integral em uma forma simples com e^{u}.

Passo 3

Faço a substituição proposta:
u = 1 - x^{6}.
Agora calculo o diferencial du. Derivando ambos os lados em relação a x:
du = \frac{d}{dx}(1-x^{6})\,dx = -6x^{5}\,dx.
Isolando x^{5}\,dx obtenho:
x^{5}\,dx = -\frac{1}{6}\,du.

Passo 4

Substituo na integral original x^{5}\,dx por -\tfrac{1}{6}\,du e 1-x^{6} por u. Assim a integral vira:
\int x^{5} e^{1-x^{6}}\,dx = \int \left(e^{u}\right)\left(-\frac{1}{6}\,du\right).
Posso tirar a constante -\tfrac{1}{6} para fora da integral:
= -\frac{1}{6}\int e^{u}\,du.

Passo 5

Agora aplico a regra básica de integração: a primitiva de e^{u} em relação a u é e^{u}. Portanto,
-\frac{1}{6}\int e^{u}\,du = -\frac{1}{6} e^{u} + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Volto à variável original x substituindo u=1-x^{6}:
-\frac{1}{6} e^{u} + C = -\frac{1}{6} e^{1-x^{6}} + C.
Essa é a primitiva encontrada.

Passo 7

Conferência (derivando a resposta): vou derivar -\tfrac{1}{6}e^{1-x^{6}} + C para verificar que recupero o integrando x^{5}e^{1-x^{6}}.
Uso a regra da cadeia: se F(x)=e^{g(x)} então F'(x)=e^{g(x)}g'(x). Aqui g(x)=1-x^{6} e g'(x)=-6x^{5}. Assim,
\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{6} e^{1-x^{6}}\right) = -\frac{1}{6}\cdot e^{1-x^{6}}\cdot(-6x^{5}).
Multiplicando os fatores:
-\frac{1}{6}\cdot(-6x^{5}) = x^{5},
portanto
\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{6} e^{1-x^{6}}\right)=x^{5}e^{1-x^{6}}.
Como a derivada de C é zero, a derivada da primitiva é exatamente o integrando, o que confirma que a solução está correta.

Resposta

-\frac{1}{6} e^{1-x^{6}} + C

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