Calcule a integral indicada e confira as respostas, derivando-as.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas:
Objetivo: encontrar uma primitiva da função
e depois conferir a resposta derivando-a.
Passo 2
Observação intuitiva (o truque): dentro do expoente temos
. A presença de
multiplicando sugere usar uma substituição do tipo
, porque a derivada de
é
, ou seja, aparece exatamente um fator
. Isso transforma a integral em uma forma simples com
.
Passo 3
Faço a substituição proposta:
Agora calculo o diferencial
. Derivando ambos os lados em relação a
:
Isolando
obtenho:
Passo 4
Substituo na integral original
por
e
por
. Assim a integral vira:
Posso tirar a constante
para fora da integral:
Passo 5
Agora aplico a regra básica de integração: a primitiva de
em relação a
é
. Portanto,
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Volto à variável original
substituindo
:
Essa é a primitiva encontrada.
Passo 7
Conferência (derivando a resposta): vou derivar
para verificar que recupero o integrando
.
Uso a regra da cadeia: se
então
. Aqui
e
. Assim,
Multiplicando os fatores:
portanto
Como a derivada de
é zero, a derivada da primitiva é exatamente o integrando, o que confirma que a solução está correta.