Faça uma troca apropriada de variáveis para calcular a integral indicada.
\int(x+1)(x-2)^{9} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int (x+1)(x-2)^{9}\,dx.
Informações dadas:
\text{integrando }(x+1)(x-2)^{9},\qquad \text{variável de integração }x,\qquad \text{é uma integral indefinida (acrescentar }C\text{).}áçãé

Passo 2

Escolhemos uma troca de variável conveniente. Defina
u = x-2.
Explico por que: o fator (x-2)^{9} fica simplesmente u^{9}, o que simplifica muito. Agora calculemos as quantidades auxiliares:
\text{como }u=x-2\Rightarrow du = dx,
e também
x = u+2\quad\Rightarrow\quad x+1 = (u+2)+1 = u+3.

Passo 3

Reescrevendo a integral em u usando as relações do passo anterior:
\int (x+1)(x-2)^{9}\,dx = \int (u+3)\,u^{9}\,du.
Aqui usei que dx=du e substituí x+1 por u+3 e (x-2)^{9} por u^{9}.

Passo 4

Distribua o produto para transformar numa soma de potências (isso facilita a integração):
(u+3)u^{9} = u^{10} + 3u^{9}.
Logo
\int (u+3)u^{9}\,du = \int \bigl(u^{10} + 3u^{9}\bigr)\,du.
Agora aplicamos a regra da potência para integrais: para n\neq -1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C.
Aplicando termo a termo:
\int u^{10}\,du = \frac{u^{11}}{11},\qquad \int 3u^{9}\,du = 3\cdot\frac{u^{10}}{10}.
Portanto, uma primitiva em termos de u é
\frac{u^{11}}{11} + \frac{3u^{10}}{10} + C.

Passo 5

Voltamos para a variável original substituindo u = x-2. Isso transforma a primitiva em u numa primitiva em x. Não esqueça de acrescentar a constante de integração C.

Resposta

\displaystyle \frac{(x-2)^{11}}{11}+\frac{3(x-2)^{10}}{10}+C

Exercícios relacionados