Calcule a integral indicada e confira as respostas, derivando-as.
int x^{5} e^{1-x^{6}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int x^{5} e^{1-x^{6}}\,dx
e em seguida conferir a resposta, derivando-a. Informações dadas: a integranda é a função x^{5} e^{1-x^{6}}. Não há limites (é integral indefinida), então deve aparecer uma constante de integração C.

Passo 2

Observação útil (motivação da técnica): quando dentro do argumento de uma exponencial aparece uma função g(x) cuja derivada g'(x) também aparece multiplicando a exponencial, é natural tentar a substituição u=g(x). Aqui o expoente é 1-x^{6} e sua derivada é proporcional a x^{5}, que está multiplicando a exponencial. Isso sinaliza que a substituição por u=1-x^{6} deve simplificar a integral.

Passo 3

Fazemos a substituição proposta:
u = 1 - x^{6}.
Agora calculamos o diferencial du. Derivando ambos os lados em relação a x obtemos
\frac{du}{dx} = -6x^{5}.
Isolando dx ou x^{5}dx para substituir na integral, temos
du = -6x^{5}\,dx \quad\Rightarrow\quad x^{5}\,dx = -\frac{1}{6}\,du.

Passo 4

Substituindo u e x^{5}\,dx na integral original, obtemos uma integral em u:
\int x^{5} e^{1-x^{6}}\,dx = \int e^{u}\left(-\frac{1}{6}\,du\right).
Colocando a constante fora da integral:
\int x^{5} e^{1-x^{6}}\,dx = -\frac{1}{6}\int e^{u}\,du.

Passo 5

A integral de e^{u} em relação a u é e^{u}. Portanto
-\frac{1}{6}\int e^{u}\,du = -\frac{1}{6} e^{u} + C.
Voltando à variável x (substituindo u=1-x^{6}):
\int x^{5} e^{1-x^{6}}\,dx = -\frac{1}{6} e^{1-x^{6}} + C.

Passo 6

Agora vamos conferir derivando a primitiva encontrada. Seja
F(x) = -\frac{1}{6} e^{1-x^{6}}.
Usamos a regra da cadeia para derivar F. A derivada de e^{1-x^{6}} é e^{1-x^{6}} vezes a derivada de 1-x^{6}, que é -6x^{5}. Assim,
F'(x) = -\frac{1}{6}\cdot e^{1-x^{6}}\cdot(-6x^{5}).
Simplificando os fatores numéricos:
F'(x) = x^{5} e^{1-x^{6}}.
Isso coincide exatamente com a integranda original, portanto a primitiva está correta.

Resposta

-\dfrac{1}{6}e^{1-x^{6}}+C

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