Calcule a integral indicada e confira as respostas, derivando-as.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
e em seguida conferir a resposta, derivando-a. Informações dadas: a integranda é a função
. Não há limites (é integral indefinida), então deve aparecer uma constante de integração
.
Passo 2
Observação útil (motivação da técnica): quando dentro do argumento de uma exponencial aparece uma função
cuja derivada
também aparece multiplicando a exponencial, é natural tentar a substituição
. Aqui o expoente é
e sua derivada é proporcional a
, que está multiplicando a exponencial. Isso sinaliza que a substituição por
deve simplificar a integral.
Passo 3
Fazemos a substituição proposta:
Agora calculamos o diferencial
. Derivando ambos os lados em relação a
obtemos
Isolando
ou
para substituir na integral, temos
Passo 4
Substituindo
e
na integral original, obtemos uma integral em
:
Colocando a constante fora da integral:
Passo 5
A integral de
em relação a
é
. Portanto
Voltando à variável
(substituindo
):
Passo 6
Agora vamos conferir derivando a primitiva encontrada. Seja
Usamos a regra da cadeia para derivar
. A derivada de
é
vezes a derivada de
, que é
. Assim,
Simplificando os fatores numéricos:
Isso coincide exatamente com a integranda original, portanto a primitiva está correta.