Calcule a integral indicada e confira as respostas, derivando-as.
\int \frac{3 x-3}{\left(x^{2}-2 x+6\right)^{2}} d x

Passo 1

O enunciado dá a integral
\int \frac{3x-3}{\left(x^{2}-2x+6\right)^{2}}\,dx
e pede duas coisas: calcular a primitiva (antiderivada) e conferir a resposta, derivando-a para mostrar que volta ao integrando. Informações relevantes: o numerador é 3x-3 e o denominador é \left(x^{2}-2x+6\right)^{2}. A integração provavelmente fica mais simples com uma substituição que torne o denominador uma única variável.

Passo 2

Escolhemos uma substituição natural: seja
u = x^{2}-2x+6.
Aqui a ideia é transformar o denominador em u^{2}. Agora precisamos relacionar du com dx. Derivando ambos os lados em relação a x obtemos
du = (2x-2)\,dx = 2(x-1)\,dx.
Isso significa que
(x-1)\,dx = \frac{1}{2}\,du.
Vou usar isso para reescrever o numerador 3x-3 em termos de du.

Passo 3

Reescrevendo o numerador:
3x-3 = 3(x-1).
Multiplicando ambos os lados por dx,
(3x-3)\,dx = 3(x-1)\,dx = 3\cdot\frac{1}{2}\,du = \frac{3}{2}\,du,
onde usei (x-1)\,dx=\tfrac{1}{2}du obtido acima. Portanto a integral em x se transforma numa integral em u:
\int \frac{3x-3}{\left(x^{2}-2x+6\right)^{2}}\,dx = \int \frac{\frac{3}{2}\,du}{u^{2}}.

Passo 4

Agora integramos em u. Lembre que a regra de potência para integrais diz que, para n\neq -1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C.
Aqui temos u^{-2} (pois 1/u^{2}=u^{-2}). Aplicando a regra com n=-2:
\int \frac{3}{2}u^{-2}\,du = \frac{3}{2}\int u^{-2}\,du = \frac{3}{2}\cdot\left(\frac{u^{-1}}{-1}\right) + C = -\frac{3}{2}u^{-1}+C.
Em forma mais familiar:
-\frac{3}{2}u^{-1} = -\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{u} = -\frac{3}{2u}+C.

Passo 5

Voltando à variável x substituindo u=x^{2}-2x+6, obtemos a primitiva:
F(x) = -\frac{3}{2\left(x^{2}-2x+6\right)} + C.
Pronto — essa é a antiderivada encontrada.

Passo 6

Agora vamos conferir derivando F(x) e mostrando que recuperamos o integrando. Tome
F(x) = -\frac{3}{2}\left(x^{2}-2x+6\right)^{-1}.
Usamos a regra da cadeia: se G(x) = (g(x))^{n}, então G'(x)=n(g(x))^{n-1}g'(x). Aqui n=-1 e g(x)=x^{2}-2x+6, cuja derivada é g'(x)=2x-2. Calculando:
F'(x) = -\frac{3}{2}\cdot(-1)\left(x^{2}-2x+6\right)^{-2}\cdot(2x-2).
Simplificando os sinais e fatores:
F'(x) = \frac{3}{2}\cdot(2x-2)\left(x^{2}-2x+6\right)^{-2} = 3(x-1)\left(x^{2}-2x+6\right)^{-2}.
Voltando à forma com fração,
F'(x)=\frac{3x-3}{\left(x^{2}-2x+6\right)^{2}},
que é exatamente o integrando. A verificação está OK.

Resposta

-\dfrac{3}{2\left(x^{2}-2x+6\right)}+C \
\dfrac{d}{dx}\!\left(-\dfrac{3}{2\left(x^{2}-2x+6\right)}\right)=\dfrac{3x-3}{\left(x^{2}-2x+6\right)^{2}}

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