Calcule a integral indicada e confira as respostas, derivando-as.
Passo 1
O enunciado dá a integral
e pede duas coisas: calcular a primitiva (antiderivada) e conferir a resposta, derivando-a para mostrar que volta ao integrando. Informações relevantes: o numerador é
e o denominador é
. A integração provavelmente fica mais simples com uma substituição que torne o denominador uma única variável.
Passo 2
Escolhemos uma substituição natural: seja
Aqui a ideia é transformar o denominador em
. Agora precisamos relacionar
com
. Derivando ambos os lados em relação a
obtemos
Isso significa que
Vou usar isso para reescrever o numerador
em termos de
.
Passo 3
Reescrevendo o numerador:
Multiplicando ambos os lados por
,
onde usei
obtido acima. Portanto a integral em
se transforma numa integral em
:
Passo 4
Agora integramos em
. Lembre que a regra de potência para integrais diz que, para
,
Aqui temos
(pois
). Aplicando a regra com
:
Em forma mais familiar:
Passo 5
Voltando à variável
substituindo
, obtemos a primitiva:
Pronto — essa é a antiderivada encontrada.
Passo 6
Agora vamos conferir derivando
e mostrando que recuperamos o integrando. Tome
Usamos a regra da cadeia: se
, então
. Aqui
e
, cuja derivada é
. Calculando:
Simplificando os sinais e fatores:
Voltando à forma com fração,
que é exatamente o integrando. A verificação está OK.