Calcule a integral indicada e confira as respostas, derivando-as.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
e conferir a resposta derivando-a. Informações dadas: a função a integrar é
, a variável de integração é
e o número
é uma constante multiplicando
. Não há outras condições (por exemplo, limites), então o resultado será uma primitiva mais uma constante
.
Passo 2
Ideia do método (explicação didática, sem pular passos): quando temos uma exponencial composta como
(onde
é constante), a derivada de
segundo
é
(isso vem da regra da cadeia). A integral é a operação inversa da derivada, então devemos “anular” esse fator
. Em termos práticos, existe uma regra útil:
Vou mostrar isso passo a passo usando substituição (que é a forma mais elementar e segura).
Passo 3
Fazemos a substituição para desfazer a composição exponencial. Seja
Então diferenciando obtemos
Isolando
temos
Passo 4
Substituímos na integral original. Temos
Como
é constante, sai da integral:
Passo 5
Agora integramos a exponencial simples. Sabemos que a primitiva de
em relação a
é
(porque
). Então
Voltando à variável
(substituindo
),
Aqui
é a constante de integração, necessária porque integrais indefinidas representam famílias de primitivas que diferem por uma constante.
Passo 6
Conferência por diferenciação (mostrar que a primitiva encontrada é correta): tome
Vamos derivar
usando a regra da cadeia. Primeiro, a derivada de
é
vezes a derivada de
, que é
. Portanto
A constante
some na diferenciação. Como
, a primitiva conferida está correta.
Passo 7
Dica rápida para a prova (memorização segura): sempre que vir
basta lembrar de dividir por
:
Exemplo rápido:
. Só tenha cuidado se
(nesse caso
e a integral é
).