Calcule a integral indicada e confira as respostas, derivando-as.
int e^{5 x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int e^{5x}\,dx
e conferir a resposta derivando-a. Informações dadas: a função a integrar é e^{5x}, a variável de integração é x e o número 5 é uma constante multiplicando x. Não há outras condições (por exemplo, limites), então o resultado será uma primitiva mais uma constante C.

Passo 2

Ideia do método (explicação didática, sem pular passos): quando temos uma exponencial composta como e^{a x} (onde a é constante), a derivada de e^{a x} segundo x é a e^{a x} (isso vem da regra da cadeia). A integral é a operação inversa da derivada, então devemos “anular” esse fator a. Em termos práticos, existe uma regra útil:
\int e^{a x}\,dx = \frac{1}{a}e^{a x} + C,\quad\text{para }a\neq 0.
Vou mostrar isso passo a passo usando substituição (que é a forma mais elementar e segura).

Passo 3

Fazemos a substituição para desfazer a composição exponencial. Seja
u = 5x.
Então diferenciando obtemos
du = 5\,dx.
Isolando dx temos
dx = \frac{du}{5}.

Passo 4

Substituímos na integral original. Temos
\int e^{5x}\,dx = \int e^{u}\cdot\frac{du}{5}.
Como 1/5 é constante, sai da integral:
\int e^{5x}\,dx = \frac{1}{5}\int e^{u}\,du.

Passo 5

Agora integramos a exponencial simples. Sabemos que a primitiva de e^{u} em relação a u é e^{u} (porque \frac{d}{du}e^{u}=e^{u}). Então
\frac{1}{5}\int e^{u}\,du = \frac{1}{5}e^{u} + C.
Voltando à variável x (substituindo u=5x),
\int e^{5x}\,dx = \frac{1}{5}e^{5x} + C.
Aqui C é a constante de integração, necessária porque integrais indefinidas representam famílias de primitivas que diferem por uma constante.

Passo 6

Conferência por diferenciação (mostrar que a primitiva encontrada é correta): tome
F(x)=\frac{1}{5}e^{5x}+C.
Vamos derivar F usando a regra da cadeia. Primeiro, a derivada de e^{5x} é e^{5x} vezes a derivada de 5x, que é 5. Portanto
F'(x)=\frac{1}{5}\cdot\bigl(5e^{5x}\bigr)+0 = e^{5x}.
A constante C some na diferenciação. Como F'(x)=e^{5x}, a primitiva conferida está correta.

Passo 7

Dica rápida para a prova (memorização segura): sempre que vir \int e^{a x}\,dx basta lembrar de dividir por a:
\int e^{a x}\,dx = \frac{1}{a}e^{a x}+C.
Exemplo rápido: \int e^{3x}\,dx=\frac{1}{3}e^{3x}+C. Só tenha cuidado se a=0 (nesse caso e^{0\cdot x}=1 e a integral é x+C).

Resposta

\displaystyle \frac{1}{5}e^{5x}+C

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