Calcule a integral indicada e confira as respostas, derivando-as.
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a integral
e depois conferir a resposta derivando a primitiva encontrada.
Informações dadas: a função a integrar é
. Não há outras restrições. Precisamos apresentar uma primitiva (antiderivada) e verificar que sua derivada é
.
Passo 2
Observação sobre a função que vamos integrar:
é uma exponencial cujo expoente é a função linear
. Duas abordagens simples e equivalentes funcionam bem aqui: (A) fatorar
como
e integrar; (B) fazer a substituição
. Vou usar a (A) porque é direta e muito prática, e depois mostro a (B) como verificação/ilustração do método de substituição.
Passo 3
Usando a propriedade das exponenciais (produto de potências de mesma base):
Aqui
é uma constante. Então a integral fica
Passo 4
Como
é constante, podemos colocá-la fora da integral:
Agora precisamos saber a primitiva de
.
Passo 5
Fórmula útil (explique curtinho): para qualquer constante
,
Aqui a razão é o efeito da regra da cadeia invertida: ao derivar
vem o fator
que cancela
.
Aplicando com
temos
Passo 6
Voltando para a integral original:
Usando novamente a propriedade das potências, podemos juntar os fatores:
Portanto uma primitiva é
Passo 7
Verificação alternativa por substituição (mostro para você aprender o método): faça
. Então
ou
. A integral fica
mesmo resultado — ótimo sinal de consistência.
Passo 8
Agora conferimos derivando a primitiva encontrada. Pegamos
Usamos a regra da cadeia para derivar: se
com
, então
Aqui
. Logo
A derivada coincide com a função integranda, portanto a primitiva está correta.