Calcule a integral indicada e confira as respostas, derivando-as.
int e^{1-x} d x

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral
\int e^{1-x}\,dx
e depois conferir a resposta derivando a primitiva encontrada.
Informações dadas: a função a integrar é \,e^{1-x}. Não há outras restrições. Precisamos apresentar uma primitiva (antiderivada) e verificar que sua derivada é e^{1-x}.

Passo 2

Observação sobre a função que vamos integrar: \,e^{1-x} é uma exponencial cujo expoente é a função linear \,1-x. Duas abordagens simples e equivalentes funcionam bem aqui: (A) fatorar e^{1-x} como e\cdot e^{-x} e integrar; (B) fazer a substituição u=1-x. Vou usar a (A) porque é direta e muito prática, e depois mostro a (B) como verificação/ilustração do método de substituição.

Passo 3

Usando a propriedade das exponenciais (produto de potências de mesma base):
e^{1-x} = e^{1}\cdot e^{-x} = e\cdot e^{-x}.
Aqui \,e^{1}=e é uma constante. Então a integral fica
\int e^{1-x}\,dx = \int e\cdot e^{-x}\,dx.

Passo 4

Como e é constante, podemos colocá-la fora da integral:
\int e\cdot e^{-x}\,dx = e \int e^{-x}\,dx.
Agora precisamos saber a primitiva de \,e^{-x}.

Passo 5

Fórmula útil (explique curtinho): para qualquer constante \,a\neq 0,
\int e^{a x}\,dx = \frac{1}{a} e^{a x} + C.
Aqui a razão é o efeito da regra da cadeia invertida: ao derivar \frac{1}{a}e^{ax} vem o fator a que cancela \frac{1}{a}.
Aplicando com \,a=-1 temos
\int e^{-x}\,dx = \frac{1}{-1} e^{-x} + C = -e^{-x} + C.

Passo 6

Voltando para a integral original:
e \int e^{-x}\,dx = e\cdot(-e^{-x}) + C = -e\cdot e^{-x} + C.
Usando novamente a propriedade das potências, podemos juntar os fatores:
-e\cdot e^{-x} = -e^{1-x}.
Portanto uma primitiva é
-e^{1-x} + C.

Passo 7

Verificação alternativa por substituição (mostro para você aprender o método): faça \,u=1-x. Então \,du=-dx ou \,dx=-du. A integral fica
\int e^{1-x}\,dx = \int e^{u}(-du) = -\int e^{u}\,du = -e^{u} + C = -e^{1-x} + C,
mesmo resultado — ótimo sinal de consistência.

Passo 8

Agora conferimos derivando a primitiva encontrada. Pegamos
F(x) = -e^{1-x} + C.
Usamos a regra da cadeia para derivar: se F(x) = -e^{g(x)} com g(x)=1-x, então
F'(x) = -e^{g(x)}\cdot g'(x).
Aqui g'(x) = \frac{d}{dx}(1-x) = -1. Logo
F'(x) = -e^{1-x}\cdot(-1) = e^{1-x}.
A derivada coincide com a função integranda, portanto a primitiva está correta.

Resposta

-e^{1-x}+C

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