Calcule
integral-infty^infty 11+x^6 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral definida de 11+x^6 de -infty até +infty. Esse tipo de integral está ligado a áreas de cálculo envolvendo funções racionais e integrais impróprias. Para resolver, vamos usar algumas ferramentas de matemática como a integração utilizando funções trigonométricas e propriedades de simetria.

Passo 2

Primeiro, observe que a função 11+x^6 é simétrica em relação ao eixo y, ou seja, é uma função par. Isso significa que a integral de -infty a +infty é duas vezes a integral de 0 a +infty. Então, podemos simplificar nossa conta:
integral-infty^infty 11+x^6 dx = 2 integral0^infty 11+x^6 dx

Passo 3

Agora, vamos focar em calcular integral0^infty 11+x^6 dx. Para resolver essa integral, usamos uma fórmula conhecida que relaciona integrais do tipo integral0^infty 11+x^n dx com a função csc (cosecante) e a constante pi:
integral0^infty 11+x^n dx = 1n pi csc(pin)
No nosso caso, n = 6, então substituímos na fórmula:
integral0^infty 11+x^6 dx = 16 pi csc(pi6)

Passo 4

Vamos calcular csc(pi6). Sabemos que csc(theta) = 1sin(theta), então:
csc(pi6) = 1sin(pi6) = 112 = 2
Substituindo de volta na expressão:
integral0^infty 11+x^6 dx = 16 pi times 2 = pi3

Passo 5

Lembrando que originalmente multiplicamos a integral de 0 a infty por 2 devido à simetria, então:
integral-infty^infty 11+x^6 dx = 2 times pi3 = 2pi3

Resposta

2pi3

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