Calcule as seguintes integrais utilizando das técnicas de integração partes, ou substituição, ou substituição trigonométrica, ou integrais trigonométricas, ou por frações parciais.
dica: usar
Passo 1
A integral dada é
. O conteúdo principal aqui é o uso de identidades trigonométricas para converter produtos de senos em soma de cossenos, permitindo uma integração direta.
Passo 2
Usamos a identidade de produto para soma:
Substituindo
$$\sin 5\theta,\sin \theta = \frac12\bigl[\cos(5\theta - \theta) - \cos(5\theta + \theta)\bigr]
= \frac12\bigl[\cos(4\theta) - \cos(6\theta)\bigr]
\int \sin 5\theta,\sin \theta,d\theta = \int \frac12\bigl[\cos(4\theta) - \cos(6\theta)\bigr]d\theta
= \frac12\int \cos(4\theta)d\theta - \frac12\int \cos(6\theta)d\theta$$
Passo 3
Agora usamos a fórmula
. Assim:
Somando os resultados, chegamos à forma final da antiderivada.