Calcule as seguintes integrais utilizando das técnicas de integração partes, ou substituição, ou substituição trigonométrica, ou integrais trigonométricas, ou por frações parciais.
integral sen 5 theta sen theta d theta dica: usar sen A sen B=12[cos (A-B)-cos (A+B)]

Passo 1

A integral dada é integral sin 5theta,sin theta,dtheta. O conteúdo principal aqui é o uso de identidades trigonométricas para converter produtos de senos em soma de cossenos, permitindo uma integração direta.

Passo 2

Usamos a identidade de produto para soma:
sin A,sin B = 12l[cos(A - B) - cos(A + B)r]
Substituindo A = 5theta e B = theta na identidade, obtemos:
$$\sin 5\theta,\sin \theta = \frac12\bigl[\cos(5\theta - \theta) - \cos(5\theta + \theta)\bigr]
= \frac12\bigl[\cos(4\theta) - \cos(6\theta)\bigr] sin 5theta,sin theta = 12l[cos(5theta - theta) - cos(5theta + theta)r] = 12l[cos(4theta) - cos(6theta)r]ã\int \sin 5\theta,\sin \theta,d\theta = \int \frac12\bigl[\cos(4\theta) - \cos(6\theta)\bigr]d\theta
= \frac12\int \cos(4\theta)d\theta - \frac12\int \cos(6\theta)d\theta$$

Passo 3

Agora usamos a fórmula integral cos(ktheta)dtheta = 1ksin(ktheta) + C. Assim:
12integral cos(4theta)dtheta = 12cdot 14sin(4theta) = 18sin(4theta)
-12integral cos(6theta)dtheta = -12cdot 16sin(6theta) = -112sin(6theta)
Somando os resultados, chegamos à forma final da antiderivada.

Resposta

18sin(4theta) - 112sin(6theta) + C

Exercícios relacionados