Calcule a integral integral-infty^infty 11+x^2 d x.

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule a integral imprópria
integral-infty^infty 11+x^2 , dx,
que envolve o conceito de integral imprópria e a antiderivada da função 1/(1+x^2), que é arctan(x).

Passo 2

Para lidar com a integral imprópria, usamos a definição de limite:
integral-infty^infty f(x),dx = limAtoinfty,,Btoinfty integral-A^B f(x),dx
Como f(x)=1/(1+x^2) é uma função par, dá para simplificar para:
integral-infty^infty 11+x^2 , dx = 2integral0^infty 11+x^2 , dx

Passo 3

A primitiva de 1/(1+x^2) é
integral 11+x^2 , dx = arctan(x) + C
pois ddx[arctan(x)] = 1/(1+x^2).

Passo 4

Aplicando isso na integral simplificada, temos
2integral0^infty 11+x^2 , dx = 2l[arctan(x)r]0^infty
Sabendo que
limxtoinftyarctan(x)=pi2
e
arctan(0)=0,
vem
2l(pi2-0r)=pi

Resposta

\pi

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