Seja R a região delimitada pelas curvas y=x e y=x^2.
Calcule o volume do solido obtido pela rotação da região R em torno do eixo y.

Passo 1

Beleza, o exercício pede o volume do sólido que surge ao rotacionar a região entre y = x^2 e y = x em torno do eixo y. Esse é um problema de volume de revolução, para o qual vamos usar o método dos cascos cilíndricos (você também pode conferir depois pelo método dos discos e ver que dá na mesma).

Passo 2

Primeiro, precisamos dos limites da região. Igualando as curvas, temos x^2 = x, ou seja, x(x-1)=0, o que dá x=0 e x=1. Então a região vai de x=0 a x=1, e para cada x a “altura” da casca é ysup-yinf = x - x^2.

Passo 3

No método dos cascos cilíndricos, cada casca tem raio r = x, altura h = x - x^2 e espessura dx. O volume de cada casca é dV = 2pi r h,dx, montando a integral:
V = 2pi integral0^1 x,(x - x^2),dx

Passo 4

Agora é só calcular:
V = 2pi integral0^1 (x^2 - x^3),dx = 2pi l[tfracx^33 - tfracx^44r]0^1 = 2pi l(tfrac13 - tfrac14r) = pi6

Passo 5

Pra confirmar, no método dos discos a gente escreve x=raiz y (raio externo) e x=y (raio interno). Aí:
Rext = raiz y, Rint = y,
V = integral0^1 pil(Rext^2 - Rint^2r),dy = integral0^1 pi(y - y^2),dy = pi6, o que confirma direitinho o resultado anterior.

Resposta

V = pi6

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