Seja
a região delimitada pelas curvas
e
.
Calcule o volume do solido obtido pela rotação da região
em torno do eixo
.
Calcule o volume do solido obtido pela rotação da região
Passo 1
Beleza, o exercício pede o volume do sólido que surge ao rotacionar a região entre
e
em torno do eixo
. Esse é um problema de volume de revolução, para o qual vamos usar o método dos cascos cilíndricos (você também pode conferir depois pelo método dos discos e ver que dá na mesma).
Passo 2
Primeiro, precisamos dos limites da região. Igualando as curvas, temos
, ou seja,
, o que dá
e
. Então a região vai de
a
, e para cada
a “altura” da casca é
.
Passo 3
No método dos cascos cilíndricos, cada casca tem raio
, altura
e espessura
. O volume de cada casca é
, montando a integral:
Passo 4
Agora é só calcular:
Passo 5
Pra confirmar, no método dos discos a gente escreve
(raio externo) e
(raio interno). Aí:
Resposta
V =