Calcule a integral integral-infty^0 1x^2+4 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria integral-infty^0 1x^2+4,dx. O conteúdo envolvido é a integração de 1/(x^2+a^2) e o tratamento de limites em integrais impróprias.

Passo 2

Para encontrar a primitiva de 1x^2+4, usamos a fórmula integral 1x^2+a^2,dx=1aarctanl(xar)+C, com a=2:
integral 1x^2+4,dx=12arctanl(tfracx2r)+C
Agora aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo, avaliando a primitiva F(x)=tfrac12arctan(tfracx2) de -infty a 0:
integral-infty^0 1x^2+4,dx = l12arctanl(tfracx2r)r|x=-infty^x=0

Passo 3

Calculando os limites: F(0)=tfrac12arctan(0)=0 e limxto-inftyF(x)=tfrac12l(-tfracpi2r)=-tfracpi4.
Fazendo a diferença, o valor da integral é 0-(-tfracpi4)=tfracpi4.

Resposta

tfracpi4

Exercícios relacionados