Encontre o volume do sólido obtido pela revolução da região limitada pelo gráfico de f(x)=1x e o eixo- x sobre o intervalo [1,+infty).

Passo 1

O exercício pede para determinar o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pelo gráfico de f(x)=1/x e o eixo x no intervalo [1,+infty). Vamos usar o conteúdo de cálculo de volumes de revolução pelo método dos discos e lidar com uma integral imprópria.

Passo 2

Pelo método dos discos, cada fatia em x tem raio f(x)=1/x. Assim, o volume é dado por
V = pi integral1^infty l(tfrac1xr)^2 , dx

Passo 3

Como o intervalo é infinito, transformamos em integral imprópria:
V = limbtoinfty pi integral1^b x^-2 , dx
Aqui usamos que (1/x)^2 = x^-2.

Passo 4

Calculamos a primitiva de x^-2, que é -x^-1. Substituindo no integral:
V = limbtoinfty pi l[-x^-1r]1^b = pi limbtoinfty l(-tfrac1b + 1r)

Passo 5

Avalia-se o limite: limbtoinfty (-1/b + 1) = 1. Logo, o volume do sólido é V = pi.

Resposta

pi

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