Desenhe a imagem:
(a) F(t)=(1, t) ;
(b) F(t)=(2 t-1, t+2);
© F(t)=(sin t, sin ^2 t);
(d) F(t)=(raiz2 cos t, 2 sin t);
(e) F(t)=(cos t, 2 sin t);
(f) F(t)=(cos t, sin t, 1);
(g) F(t)=(t, t, t^2), t >= 0;
(h) F(t)=(e^-t cos t, e^-t sin t, e^-t), t >= 0.

Passo 1

Resumo do enunciado: a gente precisa desenhar oito curvas paramétricas no plano (itens a–e) e no espaço (itens f–h). O conteúdo é curvas paramétricas e o que vamos precisar é entender a relação entre as coordenadas para reconhecer retas, parábolas, elipses, círculos e espirais.

Passo 2

Para (a) F(t)=(1,t), note que x=1 para todo t. Isso é simplesmente a reta vertical x=1.

Passo 3

Para (b) F(t)=(2t-1,,t+2), eliminamos t: de x=2t-1 vem t=tfracx+12. Logo y=t+2=tfracx+12+2=tfracx+52. É a reta y=tfrac12x+tfrac52.

Passo 4

Para © F(t)=(sin t,,sin^2 t), observe que y=(sin t)^2=(sin t)^2=x^2. A curva é o trecho da parábola y=x^2 com x=sin tin[-1,1].

Passo 5

Para (d) F(t)=(raiz2cos t,,2sin t), escreva x^22+y^24=cos^2t+sin^2t=1. É uma elipse de semi-eixos raiz2 (eixo x) e 2 (eixo y).

Passo 6

Para (e) F(t)=(cos t,,2sin t), temos x^21^2+y^22^2=1. É uma elipse com semi-eixos 1 e 2.

Passo 7

Para (f) F(t)=(cos t,sin t,1), note que x^2+y^2=1 e sempre z=1. É um círculo de raio 1 contido no plano z=1.

Passo 8

Para (g) F(t)=(t,t,t^2) com t>=0, todo ponto satisfaz x=y e z=t^2. Trata-se de uma parábola no plano x=y, partindo de (0,0,0).

Passo 9

Para (h) F(t)=(e^-tcos t,,e^-tsin t,,e^-t) com t>=0, vemos raizx^2+y^2=e^-t=z. É uma espiral que decresce em raio e altura, apoiada na superfície cônica z=raizx^2+y^2.

Resposta

(a) reta vertical x=1. (b) reta y=½x+5/2. © trecho da parábola y=x² para x∈[-1,1]. (d) elipse com semi-eixos √2 (x) e 2 (y). (e) elipse com semi-eixos 1 (x) e 2 (y). (f) círculo de raio 1 no plano z=1. (g) parábola no plano x=y, z=x², com t≥0. (h) espiral decrescente no cone z=√(x²+y²).

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