Determine as derivadas parciais de z=f(x, y), em que:
f(x, y)=x yx^2+y

Passo 1

Estamos com a função f(x,y)=xyx^2+y e queremos encontrar as derivadas parciais fx e fy. O conteúdo aqui é derivada parcial de funções quociente, e vamos precisar usar a versão da regra do quociente para derivadas parciais.

Passo 2

Para calcular fx, definimos as funções auxiliares u(x,y)=xy e v(x,y)=x^2+y. Primeiro, derivamos em relação a x:
ux = y, vx = 2x
Pela regra do quociente temos:
fx = v,ux - u,vxv^2 = (x^2+y),y - (x y),(2x)(x^2+y)^2
Agora simplificamos o numerador:
(x^2+y)y - 2x^2y = x^2y + y^2 - 2x^2y = y^2 - x^2y = y(y - x^2)
Logo:
fx = y(y - x^2)(x^2 + y)^2

Passo 3

Para calcular fy, voltamos a usar u(x,y)=xy e v(x,y)=x^2+y. Derivando agora em relação a y:
uy = x, vy = 1
Aplicando a regra do quociente:
fy = v,uy - u,vyv^2 = (x^2+y),x - (x y),(1)(x^2+y)^2 = x^3 + xy - xy(x^2+y)^2 = x^3(x^2+y)^2

Resposta

fx = y(y - x^2)(x^2 + y)^2, fy = x^3(x^2 + y)^2

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