Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial:
e) y^prime prime-6 y^prime+9 y & =4 e^x y(0)=2 & y^prime(0)=4

Passo 1

O enunciado apresenta um problema de valor inicial de EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes: y''-6y'+9y=4e^x, y(0)=2, y'(0)=4. Vamos usar a transformada de Laplace para resolver.

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados. Denotando Y(s)=Ly(x)(s), temos:
Ly''=s^2Y(s)-sy(0)-y'(0)=s^2Y-2s-4,
Ly'=sY(s)-y(0)=sY-2,
e L4e^x=4/(s-1). Assim a EDO vira uma equação algébrica:
(s^2Y-2s-4)-6(sY-2)+9Y=4s-1

Passo 3

Agora agrupamos Y(s):
s^2Y-6sY+9Y -2s-4+12=4s-1,
(s-3)^2Y +(-2s+8)=4s-1

Passo 4

Logo
Y(s)=4/(s-1)+2s-8(s-3)^2

Passo 5

Fazemos a divisão em frações parciais. Primeiro separamos
2s-8=2(s-4)=2[(s-3)-1]=2(s-3)-2,
então
Y(s)=2(s-3)-2(s-3)^2+4(s-1)(s-3)^2

Passo 6

Escrevendo
2(s-3)-2(s-3)^2=2s-3-2(s-3)^2,

Passo 7

e fazendo frações parciais em 4/[(s-1)(s-3)^2] obtemos
4(s-1)(s-3)^2=1s-1-1s-3+2(s-3)^2

Passo 8

Somando tudo, os termos em 1/(s-3)^2 se cancelam e ficamos com
Y(s)=1s-3+1s-1

Passo 9

Por fim aplicamos transformada inversa:
y(x)=e^3x+e^x

Resposta

y(x)=e^3x+e^x

Exercícios relacionados