Calcule
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de uma série infinita que envolve potências de $ x $. O conteúdo aqui envolve integrais, séries de potências e um pouco de funções trigonométricas. Vamos precisar saber como trocar a ordem de soma e integral e reconhecer séries conhecidas para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar a função que está dentro da integral:
Essa é uma série infinita onde cada termo tem potência par de $ x $ e alterna sinais. Podemos escrever essa série de forma mais compacta como:
Então, a integral que queremos calcular fica:
Passo 3
Agora, a gente pode trocar a ordem da soma e da integral. Isso só é válido se a série converge de forma uniforme, o que nesse caso acontece. Então podemos escrever:
Mas pera aí! A integral de $ x^{2n} $ de menos infinito a infinito parece complicada. Vamos pensar em uma outra maneira.
Passo 4
Vamos lembrar da série de Taylor da função $ \frac{\sin x}{x} $. Sabemos que:
Se a gente dividir ambos os lados por $ x $, a gente tem:
Olha só! Isso é exatamente a série que tá dentro da integral. Então, nossa integral fica:
Passo 5
Agora, essa integral é um clássico! Ela é conhecida como a integral de Dirichlet e o resultado é:
Resposta
A integral vale $ \pi $.