Calcule integral-infty^infty(1-x^23!+x^45!-x^67!+ldots+(-1)^n x^2 n(2 n+1)!+ldots) d x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de uma série infinita que envolve potências de $ x $. O conteúdo aqui envolve integrais, séries de potências e um pouco de funções trigonométricas. Vamos precisar saber como trocar a ordem de soma e integral e reconhecer séries conhecidas para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar a função que está dentro da integral:
1 - x^23! + x^45! - x^67! + ldots + (-1)^n x^2n(2n+1)! + ldots
Essa é uma série infinita onde cada termo tem potência par de $ x $ e alterna sinais. Podemos escrever essa série de forma mais compacta como:
x
Então, a integral que queremos calcular fica:
sumn=0^infty (-1)^n x^2n(2n+1)!

Passo 3

Agora, a gente pode trocar a ordem da soma e da integral. Isso só é válido se a série converge de forma uniforme, o que nesse caso acontece. Então podemos escrever:
sumn=0^infty (-1)^n 1(2n+1)! integral-infty^infty x^2n , dx
Mas pera aí! A integral de $ x^{2n} $ de menos infinito a infinito parece complicada. Vamos pensar em uma outra maneira.

Passo 4

Vamos lembrar da série de Taylor da função $ \frac{\sin x}{x} $. Sabemos que:
sin xx
Se a gente dividir ambos os lados por $ x $, a gente tem:
sin x = sumn=0^infty (-1)^n x^2n+1(2n+1)!
Olha só! Isso é exatamente a série que tá dentro da integral. Então, nossa integral fica:
x

Passo 5

Agora, essa integral é um clássico! Ela é conhecida como a integral de Dirichlet e o resultado é:
integral-infty^infty sin xx , dx = pi

Resposta

A integral vale $ \pi $.

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