Expresse o volume do sólido S limitado inferiormente pelo plano z=12, e superiormente pela esfera x^2+y^2+z^2=1, como uma integral tripla iterada, utilizando:
Coordenadas esfricas pt varphi.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a gente precisa fazer aqui! O exercício pede para a gente calcular o volume de um sólido S que está abaixo de um plano $ z = \frac{1}{2} $ e acima de uma esfera $ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1 $. A gente vai usar coordenadas esféricas para montar essa integral tripla. Então, vamos precisar saber como converter as equações do plano e da esfera para coordenadas esféricas e entender os limites de integração nessa sistema de coordenadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funcionam as coordenadas esféricas. Nesse sistema, qualquer ponto no espaço é descrito por três parâmetros:
  • $ \rho $: a distância do ponto até a origem.
  • $ \theta $: o ângulo no plano $ xy $ (como na coordenadas polares).
  • $ \phi $: o ângulo entre o eixo $ z $ e a linha que liga a origem ao ponto.
As relações para converter de coordenadas cartesianas para esféricas são:
rho
E o elemento de volume em coordenadas esféricas é:
theta

Passo 3

Vamos agora converter as equações do plano e da esfera para coordenadas esféricas.
  1. Esfera $ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1 $:
    Em esféricas, isso fica simples:
    x^2 + y^2 + z^2 = 1
    Ou seja, a esfera está a uma distância rho^2 = 1 Rightarrow rho = 1 da origem.
  2. Plano $ z = \frac{1}{2} $:
    Usando $ z = \rho \cos \phi $, temos:
    rho = 1

Passo 4

Agora, vamos determinar os limites de integração para $ \rho $, $ \phi $ e $ \theta $:
  • $ \theta $: Como o sólido é simétrico em torno do eixo $ z $, $ \theta $ varia de $ 0 $ a $ 2\pi $.
  • $ \phi $: O ângulo $ \phi $ varia desde o eixo $ z $ até onde o plano $ z = \frac{1}{2} $ corta a esfera. Para encontrar esse limite, vamos resolver para $ \phi $:
    rho
    Na esfera, $ \rho = 1 $, então:
    phi
    Assim, $ \phi $ varia de $ 0 $ a $ \frac{\pi}{3} $.
  • $ \rho $: Para cada $ \phi $, $ \rho $ varia do plano até a esfera, ou seja, de $ \frac{1}{2 \cos \phi} $ até $ 1 $.

Passo 5

Com todos os limites definidos, podemos montar a integral tripla para o volume $ V $ do sólido $ S $:
V

Resposta

O volume do sólido $ \mathbf{S} $ é dado pela integral tripla:
S

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