Exercs. 1-6: Ache o gradiente de
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar o gradiente da função $ f(x, y) = e^{3x} \tan y $ no ponto $ P(0, \pi/4) $. O conteúdo que vamos usar aqui é o cálculo de derivadas parciais para determinar o gradiente. Vamos precisar saber como derivar funções exponenciais e funções trigonométricas como a tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente. O gradiente de uma função $ f(x, y) $ é um vetor que aponta na direção de maior variação da função. Ele é formado pelas derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $. Ou seja,
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $. A função é $ f(x, y) = e^{3x} \tan y $. Como $ y $ é tratado como uma constante quando derivamos em relação a $ x $,
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $. Mantendo $ x $ constante,
Passo 5
Com as derivadas parciais calculadas, o gradiente fica:
Passo 6
Agora, vamos substituir as coordenadas do ponto $ P(0, \pi/4) $ nas derivadas parciais para encontrar o gradiente nesse ponto.
Primeiro, substituindo $ x = 0 $:
Porque $ e^0 = 1 $ e $ \tan(\pi/4) = 1 $.
Segundo, para a segunda componente:
Porque $ \cos(\pi/4) = \frac{\sqrt{2}}{2} $ e $ \sec^2 y = \frac{1}{\cos^2 y} $.
Resposta
O gradiente de $ f $ no ponto $ P(0, \pi/4) $ é $ \nabla f = (3, \ 2) $.