Exercs. 1-6: Ache o gradiente de f em P.
f(x, y)=e^3 x tg y;
P(0, pi / 4)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar o gradiente da função $ f(x, y) = e^{3x} \tan y $ no ponto $ P(0, \pi/4) $. O conteúdo que vamos usar aqui é o cálculo de derivadas parciais para determinar o gradiente. Vamos precisar saber como derivar funções exponenciais e funções trigonométricas como a tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente. O gradiente de uma função $ f(x, y) $ é um vetor que aponta na direção de maior variação da função. Ele é formado pelas derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $. Ou seja,
f(x, y)

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $. A função é $ f(x, y) = e^{3x} \tan y $. Como $ y $ é tratado como uma constante quando derivamos em relação a $ x $,
f

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $. Mantendo $ x $ constante,
f

Passo 5

Com as derivadas parciais calculadas, o gradiente fica:
nabla f = ( 3 e^3x tan y, e^3x sec^2 y )

Passo 6

Agora, vamos substituir as coordenadas do ponto $ P(0, \pi/4) $ nas derivadas parciais para encontrar o gradiente nesse ponto.
Primeiro, substituindo $ x = 0 $:
P(0, pi/4)
Porque $ e^0 = 1 $ e $ \tan(\pi/4) = 1 $.
Segundo, para a segunda componente:
x = 0
Porque $ \cos(\pi/4) = \frac{\sqrt{2}}{2} $ e $ \sec^2 y = \frac{1}{\cos^2 y} $.

Resposta

O gradiente de $ f $ no ponto $ P(0, \pi/4) $ é $ \nabla f = (3, \ 2) $.

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