Calcule integral-infty^infty e^-x^2 d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral-infty^inftye^-x^2,dx. Isso cai na categoria de integral gaussiana, e para resolvê-la vamos precisar usar o truque de elevar a integral ao quadrado e depois trocar para coordenadas polares.

Passo 2

Definimos I = integral-infty^inftye^-x^2,dx. Como não conhecemos I diretamente, consideramos I^2, ou seja:
I^2 = l(integral-infty^inftye^-x^2,dxr)l(integral-infty^inftye^-y^2,dyr) = integral-infty^inftyintegral-infty^infty e^-l(x^2+y^2r),dx,dy

Passo 3

Agora vamos passar para coordenadas polares: definimos x=rcostheta, y=rsintheta, e o elemento de área dx,dy vira r,dr,dtheta. Os limites ficam rin[0,infty) e thetain[0,2pi]. Assim:
I^2 = integral0^2piintegral0^inftye^-r^2,r,dr,dtheta

Passo 4

A integral separa em parte angular e radial. Primeiro a angular:
integral0^2pidtheta = 2pi
Depois a radial usando a substituição u=r^2, du=2r,dr, ou seja r,dr=du/2:
integral0^inftye^-r^2r,dr = integral0^inftye^-udu2 = 12integral0^inftye^-u,du = 12
Multiplicando as partes:
I^2 = 2pi times 12 = pi

Passo 5

Como I^2=pi e a integral original é positiva, tomamos a raiz positiva:
I = raizpi

Resposta

raizpi

Exercícios relacionados