Calcule
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
. Isso cai na categoria de integral gaussiana, e para resolvê-la vamos precisar usar o truque de elevar a integral ao quadrado e depois trocar para coordenadas polares.
Passo 2
Definimos
. Como não conhecemos
diretamente, consideramos
, ou seja:
Passo 3
Agora vamos passar para coordenadas polares: definimos
,
, e o elemento de área
vira
. Os limites ficam
e
. Assim:
Passo 4
A integral separa em parte angular e radial. Primeiro a angular:
Depois a radial usando a substituição
,
, ou seja
:
Multiplicando as partes:
Passo 5
Como
e a integral original é positiva, tomamos a raiz positiva: