y^prime-y=x y^5

Passo 1

O exercício pede para resolver a EDO de primeira ordem não linear y' - y = x y^5. O conteúdo é a equação de Bernoulli e vamos precisar usar a transformação u = y^1-5 = y^-4.

Passo 2

Reescrevo a equação no formato de Bernoulli: y' - y = x y^5 pode ser vista como y' + P(x)y = Q(x)y^n com P(x)=-1, Q(x)=x e n=5.

Passo 3

Aplico a transformação u = y^1-n = y^-4. Então faço a derivada u' = -4 y^-5 y'. Isso me leva a expressar y' y^-5 em termos de u':
Multiplico a equação original por y^-5:
y' y^-5 - y,y^-5 = x y^5 y^-5
que dá
y' y^-5 - y^-4 = x

Passo 4

Como y' y^-5 = -tfrac14 u' e y^-4=u, substituo e obtenho a equação linear
-tfrac14 u' - u = x
Multiplico tudo por -4) para simplificar:
u' + 4u = -4x

Passo 5

Essa é uma EDO linear de coeficientes constantes. O fator integrante é e^integral4,dx=e^4x.
Multiplicando por e^4x temos
ddxl(u e^4xr) = -4x e^4x

Passo 6

Integro ambos os lados:
u e^4x = integral -4x e^4x,dx = e^4x(-x + tfrac14) + C

Passo 7

Isolando u:
u = -x + tfrac14 + Ce^-4x

Passo 8

Volto à variável y com u = y^-4, ou seja
y^-4 = tfrac14 - x + Ce^-4x

Resposta

A solução geral é
y(x)=l(tfrac14 - x + Ce^-4xr)^-1/4,
onde C é a constante de integração.

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