Determinar os limites no infinito:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma questão que pede para determinar o limite quando $ x $ tende ao infinito da função
. O conteúdo aqui é de Limites no Infinito, que estuda como as funções se comportam quando $ x $ cresce sem parar. Para resolver isso, vamos precisar identificar os termos de maior grau no numerador e no denominador e simplificar a expressão.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os termos de maior grau no numerador e no denominador. No numerador, temos $ 5 $ e $ -x^{3} $. O termo de maior grau é $ -x^{3} $. No denominador, temos $ x $, $ 3x^{3} $ e $ 2 $. O termo de maior grau aqui é $ 3x^{3} $.
Passo 3
Agora, para facilitar a análise do limite no infinito, vamos dividir cada termo do numerador e do denominador pelo termo de maior grau encontrado, que é $ x^{3} $. Então, dividimos cada termo por $ x^{3} $:
Passo 4
Simplificando cada fração:
Passo 5
Agora, vamos analisar o que acontece quando $ x $ tende ao infinito. Sabemos que, conforme $ x $ fica muito grande:
- $ \frac{5}{x^{3}} $ tende a 0
- $ \frac{1}{x^{2}} $ tende a 0
- $ \frac{2}{x^{3}} $ tende a 0
Então, a expressão simplifica para:
Resposta
O limite é $ -\frac{1}{3} $.