Integrando por partes, prove que
Lcos (a t)=ss^2+k^2, a in R ;

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar, via integração por partes, que a transformada de Laplace de cos(at) é tfracss^2+a^2. Vamos usar a definição Lf(t)=integral0^infty e^-stf(t),dt e a fórmula de integração por partes.

Passo 2

Definimos I=integral0^infty e^-stcos(at),dt e aplicamos integração por partes com u=cos(at) e dv=e^-stdt. Assim du=-asin(at),dt e v=-1se^-st. Logo temos:
I = -tfrac1se^-stcos(at)|0^infty - tfracasintegral0^infty e^-stsin(at),dt
No termo de contorno, para s>0, o exponencial anula em ttoinfty e em t=0 vale 1, resultando em I=tfrac1s-tfracasJ, onde J=integral0^infty e^-stsin(at),dt.

Passo 3

Calculamos J por partes escolhendo u=sin(at) e dv=e^-stdt. Então du=acos(at),dt e v=-tfrac1se^-st, o que leva a:
J = -tfrac1se^-stsin(at)|0^infty + tfracasintegral0^infty e^-stcos(at),dt
Como o termo de contorno anula, obtemos J=tfracasI.

Passo 4

Substituindo J=tfracasI em I=tfrac1s-tfracasJ, obtemos:
I = tfrac1s-tfracascdottfracasI
Logo
Il(1+tfraca^2s^2r)=tfrac1s
e, finalmente,
I=tfracss^2+a^2

Resposta

ss^2+a^2

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