O enunciado pede para demonstrar, via integração por partes, que a transformada de Laplace de é . Vamos usar a definição e a fórmula de integração por partes.
Passo 2
Definimos e aplicamos integração por partes com e . Assim e . Logo temos:
No termo de contorno, para s>0, o exponencial anula em ttoinfty e em t=0 vale 1, resultando em I=tfrac1s-tfracasJ, onde J=integral0^infty e^-stsin(at),dt.
Passo 3
Calculamos J por partes escolhendo u=sin(at) e dv=e^-stdt. Então du=acos(at),dt e v=-tfrac1se^-st, o que leva a: