Calcule a integral
\int_{0}^{1}(1+i t)^{2} d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{0}^{1}(1+i t)^{2}\,d t.
Informações dadas e observações iniciais:
  • A variável de integração é t, que varia em [0,1].
  • i é a unidade imaginária, com a propriedade i^{2}=-1.
  • A integranda é uma função complexa de t, ou seja, o valor da integral será um número complexo em geral.

Passo 2

Regra útil (explicada): integrar uma função complexa dá para fazer componente a componente. Se uma função complexa pode ser escrita como
f(t)=u(t)+i\,v(t),
com u(t) e v(t) reais, então
\int_{0}^{1}f(t)\,dt=\int_{0}^{1}u(t)\,dt+i\int_{0}^{1}v(t)\,dt.
Isto é consequência da linearidade da integral e do fato de i ser uma constante (pode sair da integral). Vamos usar isso.

Passo 3

Expansão do integrando passo a passo. Usamos a identidade (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} com a=1 e b=i t:
(1+i t)^{2}=1^{2}+2\cdot1\cdot(i t)+(i t)^{2}=1+2i t+i^{2}t^{2}.
Como i^{2}=-1, obtemos
(1+i t)^{2}=1+2i t- t^{2}.
Reescrevendo para separar parte real e imaginária:
(1+i t)^{2}=(1-t^{2})+2i t,
portanto u(t)=1-t^{2} e v(t)=2t.

Passo 4

Integramos as partes real e imaginária separadamente.
Integral da parte real:
\int_{0}^{1}(1-t^{2})\,dt=\left[t-\frac{t^{3}}{3}\right]_{0}^{1}=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}.
Integral da parte imaginária (multiplicada por i):
\int_{0}^{1}2t\,dt=\left[t^{2}\right]_{0}^{1}=1,
logo a contribuição complexa é i\cdot 1=i.
Somando as duas contribuições:
\int_{0}^{1}(1+i t)^{2}\,dt=\frac{2}{3}+i.

Passo 5

(Método alternativo — antiderivada direta, só para ver outra forma) Podemos usar a regra da cadeia e a regra da potência: como \dfrac{d}{dt}(1+i t)=i, uma antiderivada de (1+i t)^{2} é
F(t)=\frac{(1+i t)^{3}}{3i},
pois \dfrac{d}{dt}\!\left(\dfrac{(1+i t)^{3}}{3i}\right)=\dfrac{3(1+i t)^{2}\cdot i}{3i}=(1+i t)^{2}.
A integral definida é então
\left.\frac{(1+i t)^{3}}{3i}\right|_{0}^{1}=\frac{(1+i)^{3}-1}{3i}.
Calculando (1+i)^{2}=2i e (1+i)^{3}=2i(1+i)=-2+2i, obtemos
\frac{(-2+2i)-1}{3i}=\frac{-3+2i}{3i}=\frac{2}{3}+i,
o que confirma o resultado anterior.

Resposta

\dfrac{2}{3}+i

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