O enunciado pede para mostrar que, para todo z \in \mathbb{C},
\cos(\bar{z}) = \overline{\cos z}.
Informações dadas:
z é um número complexo arbitrário, isto é, z \in \mathbb{C}.
A operação \bar{(\cdot)} denota o conjugado complexo.
A meta é provar a igualdade acima para todo z.
Passo 2
Lembretes básicos sobre conjugado complexo (com explicação - passo a passo):
Se z = x + i y com x,y \in \mathbb{R}, então \bar{z} = x - i y.
O conjugado tem as propriedades lineares usuais:\overline{a+b} = \overline{a} + \overline{b},\qquad \overline{a b} = \overline{a}\,\overline{b}.Justificativa curta para \overline{ab}=\overline{a}\,\overline{b}: escreva a=x+iy e b=u+iv. Entãoab = (xu-yv) + i(xv+yu),e\overline{ab} = (xu-yv) - i(xv+yu).Por outro lado,\overline{a}\,\overline{b} = (x-iy)(u-iv) = (xu-yv) - i(xv+yu),que é igual a \overline{ab}. Portanto a propriedade vale.
Aplicando repetidamente, para todo inteiro n\ge 0 vale\overline{z^n} = \overline{z}^{\,n}.
Passo 3
Apresentar uma definição de \cos válida para números complexos e explicar por que é útil aqui.
A função cosseno pode ser definida em \mathbb{C} pela série de potências (a mesma série que para reais):\cos w = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{w^{2n}}{(2n)!},válida para todo w\in\mathbb{C} (a série tem raio de convergência infinito).
Observação importante: todos os coeficientes (-1)^n/(2n)! são números reais. Isso facilita a passagem do conjugado através da série.
Agora aplicamos o conjugado termo a termo (é permitido porque a série converge absolutamente, então a conjugação comuta com a soma infinita). Assim:\overline{\cos z} = \overline{\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{z^{2n}}{(2n)!}} = \sum_{n=0}^{\infty} \overline{\left((-1)^n \frac{z^{2n}}{(2n)!}\right)}.
Como (-1)^n/(2n)! é real, \overline{(-1)^n/(2n)!}=(-1)^n/(2n)!. E usando \overline{z^{2n}}=\overline{z}^{\,2n} obtemos\overline{\cos z} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{\overline{z}^{\,2n}}{(2n)!} = \cos(\overline{z}).
Assim está demonstrado, de forma direta pela série de potências.
Passo 4
Uma prova alternativa (útil para intuição) usando a expressão exponencial do cosseno:
Para todo w\in\mathbb{C} vale\cos w = \frac{e^{i w} + e^{-i w}}{2}.
Mostra-se que \overline{e^{u}} = e^{\overline{u}} para todo u\in\mathbb{C}. De fato, escrevendo u = a + i b com a,b\in\mathbb{R},e^{u} = e^{a}(\cos b + i\sin b),então\overline{e^{u}} = e^{a}(\cos b - i\sin b) = e^{a - i b} = e^{\overline{u}}.
Aplicando isso em \cos z = \tfrac{1}{2}(e^{iz}+e^{-iz}), obtém-se\overline{\cos z} = \frac{\overline{e^{iz}} + \overline{e^{-iz}}}{2} = \frac{e^{\overline{iz}} + e^{-\overline{iz}}}{2}.Como \overline{iz} = i\overline{z} (porque i é uma constante e \overline{i}=-i, cuidado: mais preciso é \overline{i z} = \overline{i}\,\overline{z} = -i\overline{z}; entretanto usar \overline{e^{iz}}=e^{\overline{iz}} e \overline{iz} = i\overline{z} resulta no mesmo final se tratar sinal corretamente — aqui é mais claro observar que \overline{iz} = -i\overline{z}, então trabalhar com as duas exponenciais dá exatamente \cos(\overline{z}); para evitar confusão, recomenda-se seguir a prova pela série, mas quem prefere exponentes pode completar com cuidado),
conclui-se também que \overline{\cos z} = \cos(\overline{z}).
(A prova pela série é mais direta e evita essas sutilezas de sinais ao manipular i dentro do conjugado.)
Passo 5
Resumo da ideia prática para a prova na prova (o que você deve escrever, passo a passo, de forma enxuta):
Escreva a série de potências de \cos z.
Aplique conjugação termo a termo, usando que os coeficientes são reais e que \overline{z^{2n}}=\overline{z}^{\,2n}.
Reconheça a série resultante como \cos(\overline{z}).
Com isso a igualdade fica demonstrada.