Mostre que, para todo z \in \mathbb{C},
\cos (\bar{z})=\overline{\cos z}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para todo z \in \mathbb{C},
\cos(\bar{z}) = \overline{\cos z}.
Informações dadas:
  • z é um número complexo arbitrário, isto é, z \in \mathbb{C}.
  • A operação \bar{(\cdot)} denota o conjugado complexo.
    A meta é provar a igualdade acima para todo z.

Passo 2

Lembretes básicos sobre conjugado complexo (com explicação - passo a passo):
  • Se z = x + i y com x,y \in \mathbb{R}, então \bar{z} = x - i y.
  • O conjugado tem as propriedades lineares usuais: \overline{a+b} = \overline{a} + \overline{b},\qquad \overline{a b} = \overline{a}\,\overline{b}.Justificativa curta para \overline{ab}=\overline{a}\,\overline{b}: escreva a=x+iy e b=u+iv. Então ab = (xu-yv) + i(xv+yu),e \overline{ab} = (xu-yv) - i(xv+yu).Por outro lado, \overline{a}\,\overline{b} = (x-iy)(u-iv) = (xu-yv) - i(xv+yu),que é igual a \overline{ab}. Portanto a propriedade vale.
  • Aplicando repetidamente, para todo inteiro n\ge 0 vale \overline{z^n} = \overline{z}^{\,n}.

Passo 3

Apresentar uma definição de \cos válida para números complexos e explicar por que é útil aqui.
  • A função cosseno pode ser definida em \mathbb{C} pela série de potências (a mesma série que para reais): \cos w = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{w^{2n}}{(2n)!},válida para todo w\in\mathbb{C} (a série tem raio de convergência infinito).
  • Observação importante: todos os coeficientes (-1)^n/(2n)! são números reais. Isso facilita a passagem do conjugado através da série.
  • Agora aplicamos o conjugado termo a termo (é permitido porque a série converge absolutamente, então a conjugação comuta com a soma infinita). Assim: \overline{\cos z} = \overline{\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{z^{2n}}{(2n)!}} = \sum_{n=0}^{\infty} \overline{\left((-1)^n \frac{z^{2n}}{(2n)!}\right)}.
  • Como (-1)^n/(2n)! é real, \overline{(-1)^n/(2n)!}=(-1)^n/(2n)!. E usando \overline{z^{2n}}=\overline{z}^{\,2n} obtemos \overline{\cos z} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{\overline{z}^{\,2n}}{(2n)!} = \cos(\overline{z}).
  • Assim está demonstrado, de forma direta pela série de potências.

Passo 4

Uma prova alternativa (útil para intuição) usando a expressão exponencial do cosseno:
  • Para todo w\in\mathbb{C} vale \cos w = \frac{e^{i w} + e^{-i w}}{2}.
  • Mostra-se que \overline{e^{u}} = e^{\overline{u}} para todo u\in\mathbb{C}. De fato, escrevendo u = a + i b com a,b\in\mathbb{R}, e^{u} = e^{a}(\cos b + i\sin b),então \overline{e^{u}} = e^{a}(\cos b - i\sin b) = e^{a - i b} = e^{\overline{u}}.
  • Aplicando isso em \cos z = \tfrac{1}{2}(e^{iz}+e^{-iz}), obtém-se \overline{\cos z} = \frac{\overline{e^{iz}} + \overline{e^{-iz}}}{2} = \frac{e^{\overline{iz}} + e^{-\overline{iz}}}{2}.Como \overline{iz} = i\overline{z} (porque i é uma constante e \overline{i}=-i, cuidado: mais preciso é \overline{i z} = \overline{i}\,\overline{z} = -i\overline{z}; entretanto usar \overline{e^{iz}}=e^{\overline{iz}} e \overline{iz} = i\overline{z} resulta no mesmo final se tratar sinal corretamente — aqui é mais claro observar que \overline{iz} = -i\overline{z}, então trabalhar com as duas exponenciais dá exatamente \cos(\overline{z}); para evitar confusão, recomenda-se seguir a prova pela série, mas quem prefere exponentes pode completar com cuidado),
    conclui-se também que \overline{\cos z} = \cos(\overline{z}).
  • (A prova pela série é mais direta e evita essas sutilezas de sinais ao manipular i dentro do conjugado.)

Passo 5

Resumo da ideia prática para a prova na prova (o que você deve escrever, passo a passo, de forma enxuta):
  • Escreva a série de potências de \cos z.
  • Aplique conjugação termo a termo, usando que os coeficientes são reais e que \overline{z^{2n}}=\overline{z}^{\,2n}.
  • Reconheça a série resultante como \cos(\overline{z}).
    Com isso a igualdade fica demonstrada.

Resposta

\cos(\bar{z})=\overline{\cos z}

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