Prove que
\sin (2 z)=2 \sin z \cos z
para todo z \in \mathbb{C}.

Passo 1

O que o problema pede: provar que, para todo z\in\mathbb{C},
\sin(2z)=2\sin z\cos z.
Informações relevantes dadas/assumidas: as funções \sin e \cos estão sendo consideradas como as extensões usuais para números complexos (ou seja, as funções trigonométricas complexas definidas via séries ou via exponencial complexa). Não é pedido restringir z a reais — a identidade deve valer para quaisquer z\in\mathbb{C}.

Passo 2

Definições e propriedades que vamos usar (explicadas de forma acessível).
Definição da exponencial complexa: para w\in\mathbb{C} define-se
e^{w}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{w^{n}}{n!},
uma série de potências que converge para todo w\in\mathbb{C}. Uma propriedade fundamental derivada da definição por série é a aditividade do expoente:
e^{a+b}=e^{a}e^{b}\quad\text{para todo }a,b\in\mathbb{C}.
Explicação curta: isso vem da multiplicação das séries e da unicidade da série de potências.
Definições de seno e cosseno complexos (fórmulas de Euler estendidas): para z\in\mathbb{C} definimos
\sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i},\qquad \cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}.
Motivação/por que isto é legítimo: essas fórmulas coincidem com as séries de Taylor usuais de \sin e \cos quando z é real, e as séries definem funções inteiras (holomorfas em todo \mathbb{C}). Assim podemos usar essas expressões algébricas com exponenciais complexas para manipular \sin e \cos.

Passo 3

Escrever o lado direito 2\sin z\cos z usando as definições em termos da exponencial e simplificar passo a passo.
Começo substituindo as definições:
2\sin z\cos z =2\left(\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}\right)\left(\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}\right).
Explico cada fator: e^{iz} é a exponencial com expoente iz; produto de exponenciais será usado em seguida.
Agora faço a simplificação aritmética dos coeficientes:
o fator 2 no início cancela parcialmente com os denominadores 2i e 2. Mais explicitamente,
2\cdot\frac{1}{2i}\cdot\frac{1}{2}=\frac{2}{4i}=\frac{1}{2i}.
Portanto
2\sin z\cos z=\frac{1}{2i}\,(e^{iz}-e^{-iz})(e^{iz}+e^{-iz}).

Passo 4

Simplificar o produto (e^{iz}-e^{-iz})(e^{iz}+e^{-iz}) usando a identidade de soma e diferença e a propriedade multiplicativa da exponencial.
A expressão (a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2} vale para quaisquer a,b. Aplicando com a=e^{iz} e b=e^{-iz} obtemos
(e^{iz}-e^{-iz})(e^{iz}+e^{-iz})=(e^{iz})^{2}-(e^{-iz})^{2}.
Agora uso a propriedade e^{a}e^{b}=e^{a+b}. Assim
(e^{iz})^{2}=e^{iz}e^{iz}=e^{i z + i z}=e^{i(2z)}=e^{i2z},
e semelhantemente
(e^{-iz})^{2}=e^{-i2z}.
Substituindo de volta,
(e^{iz}-e^{-iz})(e^{iz}+e^{-iz})=e^{i2z}-e^{-i2z}.

Passo 5

Juntando tudo para obter a forma de \sin(2z).
Voltando à expressão do Passo 3, temos agora
2\sin z\cos z=\frac{1}{2i}\bigl(e^{i2z}-e^{-i2z}\bigr).
Mas pela definição de seno complexa (Passo 2) aplicada ao número 2z, temos exatamente
\sin(2z)=\frac{e^{i(2z)}-e^{-i(2z)}}{2i}.
Comparando as duas expressões concluímos
2\sin z\cos z=\sin(2z).

Passo 6

Comentário pedagógico rápido (para fixar): a prova é puramente algébrica, baseada nas definições por exponenciais complexas e na propriedade e^{a+b}=e^{a}e^{b}. Outra forma de ver que a identidade é válida para números complexos é notar que ambos os lados são funções inteiras (séries de potências em z) e coincidem para todos os z reais; portanto coincidem para todo z\in\mathbb{C}. Mas a demonstração que fiz acima é direta e não precisa dessa observação adicional.

Resposta

\sin(2z)=2\sin z\cos z

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