Prove que
para todo
.
Passo 1
O que o problema pede: provar que, para todo
,
Informações relevantes dadas/assumidas: as funções
e
estão sendo consideradas como as extensões usuais para números complexos (ou seja, as funções trigonométricas complexas definidas via séries ou via exponencial complexa). Não é pedido restringir
a reais — a identidade deve valer para quaisquer
.
Passo 2
Definições e propriedades que vamos usar (explicadas de forma acessível).
Definição da exponencial complexa: para
define-se
uma série de potências que converge para todo
. Uma propriedade fundamental derivada da definição por série é a aditividade do expoente:
Explicação curta: isso vem da multiplicação das séries e da unicidade da série de potências.
Definições de seno e cosseno complexos (fórmulas de Euler estendidas): para
definimos
Motivação/por que isto é legítimo: essas fórmulas coincidem com as séries de Taylor usuais de
e
quando
é real, e as séries definem funções inteiras (holomorfas em todo
). Assim podemos usar essas expressões algébricas com exponenciais complexas para manipular
e
.
Passo 3
Escrever o lado direito
usando as definições em termos da exponencial e simplificar passo a passo.
Começo substituindo as definições:
Explico cada fator:
é a exponencial com expoente
; produto de exponenciais será usado em seguida.
Agora faço a simplificação aritmética dos coeficientes:
o fator no início cancela parcialmente com os denominadores
e
. Mais explicitamente,
o fator
Portanto
Passo 4
Simplificar o produto
usando a identidade de soma e diferença e a propriedade multiplicativa da exponencial.
A expressão
vale para quaisquer
. Aplicando com
e
obtemos
Agora uso a propriedade
. Assim
e semelhantemente
Substituindo de volta,
Passo 5
Juntando tudo para obter a forma de
.
Voltando à expressão do Passo 3, temos agora
Mas pela definição de seno complexa (Passo 2) aplicada ao número
, temos exatamente
Comparando as duas expressões concluímos
Passo 6
Comentário pedagógico rápido (para fixar): a prova é puramente algébrica, baseada nas definições por exponenciais complexas e na propriedade
. Outra forma de ver que a identidade é válida para números complexos é notar que ambos os lados são funções inteiras (séries de potências em
) e coincidem para todos os
reais; portanto coincidem para todo
. Mas a demonstração que fiz acima é direta e não precisa dessa observação adicional.