Calcule a integral
, sendo
e
a curva parametrizada por
, sabendo que
é de classe
e
.
Passo 1
O que o enunciado dá e pede (lista clara):
- Campo vetorial
. Ou seja, , , . - Curva parametrizada
, com . - Informação sobre
: , e . - O objetivo: calcular a integral de linha
ao longo da curva orientada pelo parâmetro de a .
Informações úteis extraídas dos dados (usadas depois):
- Ponto inicial da curva:
, porque . - Ponto final da curva:
, porque . - Observação: a curva NÃO é fechada (ponto inicial e final são diferentes).
Passo 2
Estratégia e teoria necessária (explicação didática):
- Para uma campo vetorial
, uma forma eficiente de calcular é verificar se é um campo conservativo, isto é, se existe uma função potencial tal que . Se existir, a integral de linha entre dois pontos depende apenas dos pontos extremos e vale (Teorema Fundamental para Gradientes). - Um teste prático: se o rotacional (curl) de
é o vetor nulo e a região é simplesmente conexa (como ), então é conservativo. O rotacional é dado por
- Se
for conservativo, basta achar uma tal que e depois avaliar nos pontos extremos. Vou aplicar exatamente esse caminho.
Passo 3
Calcular o rotacional de
(passo a passo):
- Calcular as derivadas parciais necessárias:
Logo a primeira componente do rotacional é - Segunda componente:
Logo - Terceira componente:
Logo - Conclusão:
.
Passo 4
Interpretação do resultado do rotacional:
- Como
em todo e é simplesmente conexo, é conservativo: existe função potencial com . - Consequência prática (Teorema Fundamental para Gradientes): a integral de linha entre dois pontos
e ao longo de qualquer curva suave é
- Portanto só falta achar
e avaliar nos pontos e que identificamos no Passo 1.
Passo 5
Encontrar uma potencial
(integração passo a passo):
- Começar usando
. Integrando em relação a (tratando como constantes): onde é uma função de integração que depende só de e . - Agora usar
. Calcular a derivada de obtida: Igualando a : Integrando em relação a : onde é função só de . - Portanto
- Finalmente usar
. Calcular : Igualando a : Assim é constante; podemos tomar essa constante igual a zero (potencial definido até uma constante). - Portanto uma potencial válida é
Passo 6
Avaliar a potencial nos pontos extremos e calcular a integral:
- Ponto inicial (extraído do enunciado, Passo 1):
. Então - Ponto final (extraído do enunciado, Passo 1):
. Então - Pelo Teorema Fundamental para Gradientes,
Passo 7
Conclusão final e uma palavra de incentivo:
- O valor da integral de linha é
. Mandou bem em trazer o enunciado completo — usar o teste do rotacional e a potencialização costuma ser o jeito mais rápido nessas questões. Confia que com esse procedimento parecido dá pra resolver várias integrais de linha na prova!