Calcule a integral \int_{C} \vec{F} \cdot d \vec{r}, sendo \vec{F}(x, y, z)=(2 y-3 z, 2 x+2 z, 2 y-3 x) e C a curva parametrizada por \vec{r}(t)=\left(f(t) \cos t, f(t) \sin t, \frac{t}{\pi}\right), \quad 0 \leq t \leq 2 \pi, sabendo que f é de classe C^{1}, f(0)=1 e f(2 \pi)=2.

Passo 1

O que o enunciado dá e pede (lista clara):
  • Campo vetorial \vec{F}(x,y,z) = (2y-3z,\; 2x+2z,\; 2y-3x). Ou seja, P(x,y,z)=2y-3z, Q(x,y,z)=2x+2z, R(x,y,z)=2y-3x.
  • Curva parametrizada \vec{r}(t)=\big(f(t)\cos t,\; f(t)\sin t,\; \tfrac{t}{\pi}\big), com 0\le t\le 2\pi.
  • Informação sobre f: f\in C^{1}, f(0)=1 e f(2\pi)=2.
  • O objetivo: calcular a integral de linha \displaystyle \int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r} ao longo da curva C orientada pelo parâmetro t de 0 a 2\pi.
Informações úteis extraídas dos dados (usadas depois):
  • Ponto inicial da curva: \vec{r}(0)=\big(f(0)\cos 0,\; f(0)\sin 0,\;0\big)=\big(1,\;0,\;0\big), porque f(0)=1.
  • Ponto final da curva: \vec{r}(2\pi)=\big(f(2\pi)\cos 2\pi,\; f(2\pi)\sin 2\pi,\; \tfrac{2\pi}{\pi}\big)=\big(2,\;0,\;2\big), porque f(2\pi)=2.
  • Observação: a curva NÃO é fechada (ponto inicial e final são diferentes).

Passo 2

Estratégia e teoria necessária (explicação didática):
  • Para uma campo vetorial \vec{F}=(P,Q,R), uma forma eficiente de calcular \displaystyle \int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r} é verificar se \vec{F} é um campo conservativo, isto é, se existe uma função potencial \varphi(x,y,z) tal que \nabla\varphi=\vec{F}. Se existir, a integral de linha entre dois pontos depende apenas dos pontos extremos e vale \varphi(\text{final})-\varphi(\text{inicial}) (Teorema Fundamental para Gradientes).
  • Um teste prático: se o rotacional (curl) de \vec{F} é o vetor nulo e a região é simplesmente conexa (como \mathbb{R}^3), então \vec{F} é conservativo. O rotacional é dado por
\operatorname{curl}\vec{F}=\nabla\times\vec{F}=\Big(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z},\; \frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x},\; \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Big).
  • Se \vec{F} for conservativo, basta achar uma \varphi tal que \partial \varphi/\partial x=P,\; \partial \varphi/\partial y=Q,\; \partial \varphi/\partial z=R e depois avaliar \varphi nos pontos extremos. Vou aplicar exatamente esse caminho.

Passo 3

Calcular o rotacional de \vec{F} (passo a passo):
  • Calcular as derivadas parciais necessárias: \frac{\partial R}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(2y-3x)=2, \qquad \frac{\partial Q}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}(2x+2z)=2.Logo a primeira componente do rotacional é \frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}=2-2=0.
  • Segunda componente: \frac{\partial P}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}(2y-3z)=-3, \qquad \frac{\partial R}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(2y-3x)=-3.Logo \frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}=-3-(-3)=0.
  • Terceira componente: \frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(2x+2z)=2, \qquad \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(2y-3z)=2.Logo \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=2-2=0.
  • Conclusão: \operatorname{curl}\vec{F}=(0,0,0).

Passo 4

Interpretação do resultado do rotacional:
  • Como \operatorname{curl}\vec{F}=\vec{0} em todo \mathbb{R}^3 e \mathbb{R}^3 é simplesmente conexo, \vec{F} é conservativo: existe função potencial \varphi(x,y,z) com \nabla\varphi=\vec{F}.
  • Consequência prática (Teorema Fundamental para Gradientes): a integral de linha entre dois pontos A e B ao longo de qualquer curva suave é
\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\varphi(B)-\varphi(A).
  • Portanto só falta achar \varphi e avaliar nos pontos \vec{r}(0) e \vec{r}(2\pi) que identificamos no Passo 1.

Passo 5

Encontrar uma potencial \varphi (integração passo a passo):
  • Começar usando \dfrac{\partial \varphi}{\partial x}=P=2y-3z. Integrando em relação a x (tratando y,z como constantes): \varphi(x,y,z)=\int (2y-3z)\,dx = x(2y-3z)+g(y,z),onde g(y,z) é uma função de integração que depende só de y e z.
  • Agora usar \dfrac{\partial \varphi}{\partial y}=Q=2x+2z. Calcular a derivada de \varphi obtida: \frac{\partial \varphi}{\partial y}= \frac{\partial}{\partial y}\big(x(2y-3z)+g(y,z)\big)=2x + \frac{\partial g}{\partial y}(y,z).Igualando a Q: 2x + \frac{\partial g}{\partial y}(y,z) = 2x+2z \quad\Rightarrow\quad \frac{\partial g}{\partial y}(y,z)=2z.Integrando em relação a y: g(y,z)=\int 2z\,dy = 2zy + h(z),onde h(z) é função só de z.
  • Portanto \varphi(x,y,z)=x(2y-3z) + 2zy + h(z) = 2xy - 3xz + 2yz + h(z).
  • Finalmente usar \dfrac{\partial \varphi}{\partial z}=R=2y-3x. Calcular \partial \varphi/\partial z: \frac{\partial \varphi}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z}\big(2xy - 3xz + 2yz + h(z)\big) = -3x + 2y + h'(z).Igualando a R: -3x + 2y + h'(z) = 2y - 3x \quad\Rightarrow\quad h'(z)=0.Assim h(z) é constante; podemos tomar essa constante igual a zero (potencial definido até uma constante).
  • Portanto uma potencial válida é \varphi(x,y,z)=2xy - 3xz + 2yz.

Passo 6

Avaliar a potencial nos pontos extremos e calcular a integral:
  • Ponto inicial (extraído do enunciado, Passo 1): \vec{r}(0)=(1,0,0). Então \varphi\big(1,0,0\big)=2\cdot1\cdot0 - 3\cdot1\cdot0 + 2\cdot0\cdot0 = 0.
  • Ponto final (extraído do enunciado, Passo 1): \vec{r}(2\pi)=(2,0,2). Então \varphi\big(2,0,2\big)=2\cdot2\cdot0 - 3\cdot2\cdot2 + 2\cdot0\cdot2 = 0 - 12 + 0 = -12.
  • Pelo Teorema Fundamental para Gradientes, \int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\varphi\big(\vec{r}(2\pi)\big)-\varphi\big(\vec{r}(0)\big) = -12 - 0 = -12.

Passo 7

Conclusão final e uma palavra de incentivo:
  • O valor da integral de linha é -12. Mandou bem em trazer o enunciado completo — usar o teste do rotacional e a potencialização costuma ser o jeito mais rápido nessas questões. Confia que com esse procedimento parecido dá pra resolver várias integrais de linha na prova!

Resposta

-12

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