Considere a integral de linha
a) Determine a constante
para que esta integral seja independente do caminho.
b) Calcule o valor da integral de
a
para o valor de
encontrado em (a).
b) Calcule o valor da integral de
Passo 1
O enunciado dá a integral de linha
e pede duas coisas:
- (a) determinar a constante
para que a integral seja independente do caminho; - (b) calcular o valor da integral entre
e para o encontrado.
Informações dadas que usaremos explicitamente:
- Definimos as funções componentes
- O domínio natural dessas funções é todo o plano
(sem singularidades).
Passo 2
Conceito e critério prático (explicado com calma): a integral de linha
é independente do caminho (ou seja, depende só dos pontos finais) se existir uma função potencial
tal que
Isto implica que
Um teste fácil para saber se existe tal
(quando o domínio é simplesmente conexo, como
) é verificar se as derivadas parciais mistas coincidem:
Aqui o domínio é
, que é simplesmente conexo, então esse teste é suficiente.
Agora calculemos as derivadas parciais pedidas:
Calcule
. Como
, temos que
é função de
e
é constante ao derivar em relação a
. Logo
Calcule
. Como
, derivando em relação a
(tratando
como constante) obtemos
Passo 3
Aplicando o critério de igualdade das derivadas mistas:
Subtraindo
de ambos os lados:
Para que isto seja verdade para todos
(lembrando que
para todo
), devemos ter
(Obs.: se apenas para alguns pontos desse tipo a igualdade fosse satisfeita, isso não bastaria; queremos independência do caminho para todo o domínio, então
tem que ser exatamente
.)
Passo 4
Agora que sabemos
, reescrevemos
e
com esse valor:
Próximo passo: encontrar a função potencial
tal que
e
. Começamos integrando
em relação a
:
Explicando a integração passo a passo:
-
é constante quando integramos em , então -
(porque é tratado como constante na integração em ).
Portanto
onde
é uma função arbitrária de
(aparece porque ao integrar em
podemos ter uma “constante” que depende de
).
Passo 5
Impondo
para determinar
. Calculemos
a partir da expressão encontrada:
Devemos ter
. Igualando:
Cancelando os termos iguais
e
dos dois lados, obtemos
Integrando em
:
onde
é constante aditiva (irrelevante para integral definida entre dois pontos, pois cancela).
Logo a função potencial completa é
Passo 6
Cálculo da integral entre os pontos
e
. Como a integral é independente do caminho, ela vale
Avaliemos
nos pontos (podemos desprezar a constante
porque cancela na diferença):
Calcule
:
Calcule
:
Portanto a integral é