Considere a integral de linha
\int_{C}\left(k x e^{y}+y\right) d x+\left(x^{2} e^{y}+x-k y\right) d y
a) Determine a constante k para que esta integral seja independente do caminho.
b) Calcule o valor da integral de A=(0,0) a B=(1,1) para o valor de k encontrado em (a).

Passo 1

O enunciado dá a integral de linha
\int_{C}\left(k x e^{y}+y\right)\,dx+\left(x^{2} e^{y}+x-k y\right)\,dy
e pede duas coisas:
  • (a) determinar a constante k para que a integral seja independente do caminho;
  • (b) calcular o valor da integral entre A=(0,0) e B=(1,1) para o k encontrado.
Informações dadas que usaremos explicitamente:
  • Definimos as funções componentes
P(x,y)=k x e^{y}+y, \qquad Q(x,y)=x^{2} e^{y}+x-k y.
  • O domínio natural dessas funções é todo o plano \mathbb{R}^{2} (sem singularidades).

Passo 2

Conceito e critério prático (explicado com calma): a integral de linha
\int_{C}P\,dx+Q\,dy
é independente do caminho (ou seja, depende só dos pontos finais) se existir uma função potencial \varphi(x,y) tal que
d\varphi = \phi_x\,dx+\phi_y\,dy = P\,dx+Q\,dy.
Isto implica que
\phi_x = P\quad\text{e}\quad \phi_y = Q.
Um teste fácil para saber se existe tal \varphi (quando o domínio é simplesmente conexo, como \mathbb{R}^2) é verificar se as derivadas parciais mistas coincidem:
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}.
Aqui o domínio é \mathbb{R}^2, que é simplesmente conexo, então esse teste é suficiente.
Agora calculemos as derivadas parciais pedidas:
Calcule \dfrac{\partial P}{\partial y}. Como P(x,y)=k x e^{y}+y, temos que e^{y} é função de y e x é constante ao derivar em relação a y. Logo
\frac{\partial P}{\partial y}=k x e^{y}+1.
Calcule \dfrac{\partial Q}{\partial x}. Como Q(x,y)=x^{2} e^{y}+x-k y, derivando em relação a x (tratando y como constante) obtemos
\frac{\partial Q}{\partial x}=2x e^{y}+1.

Passo 3

Aplicando o critério de igualdade das derivadas mistas:
k x e^{y}+1 = 2x e^{y}+1.
Subtraindo 1 de ambos os lados:
k x e^{y} = 2x e^{y}.
Para que isto seja verdade para todos x,y (lembrando que e^{y}>0 para todo y), devemos ter
k=2.
(Obs.: se apenas para alguns pontos desse tipo a igualdade fosse satisfeita, isso não bastaria; queremos independência do caminho para todo o domínio, então k tem que ser exatamente 2.)

Passo 4

Agora que sabemos k=2, reescrevemos P e Q com esse valor:
P(x,y)=2x e^{y}+y, \qquad Q(x,y)=x^{2} e^{y}+x-2y.
Próximo passo: encontrar a função potencial \varphi(x,y) tal que \phi_x=P e \phi_y=Q. Começamos integrando P em relação a x:
\varphi(x,y)=\int P(x,y)\,dx = \int\bigl(2x e^{y}+y\bigr)\,dx.
Explicando a integração passo a passo:
  • e^{y} é constante quando integramos em x, então \int 2x e^{y}\,dx = e^{y}\int 2x\,dx = e^{y}\cdot x^{2}.
  • \int y\,dx = x y (porque y é tratado como constante na integração em x).
Portanto
\varphi(x,y)=e^{y} x^{2} + x y + h(y),
onde h(y) é uma função arbitrária de y (aparece porque ao integrar em x podemos ter uma “constante” que depende de y).

Passo 5

Impondo \phi_y = Q para determinar h(y). Calculemos \phi_y a partir da expressão encontrada:
\phi_y = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(e^{y} x^{2} + x y + h(y)\bigr) = e^{y} x^{2} + x + h'(y).
Devemos ter \phi_y = Q(x,y)=x^{2} e^{y}+x-2y. Igualando:
e^{y} x^{2} + x + h'(y) = x^{2} e^{y} + x - 2y.
Cancelando os termos iguais e^{y} x^{2} e x dos dois lados, obtemos
h'(y) = -2y.
Integrando em y:
h(y) = \int -2y\,dy = -y^{2} + C,
onde C é constante aditiva (irrelevante para integral definida entre dois pontos, pois cancela).
Logo a função potencial completa é
\varphi(x,y)=e^{y} x^{2} + x y - y^{2} + C.

Passo 6

Cálculo da integral entre os pontos A=(0,0) e B=(1,1). Como a integral é independente do caminho, ela vale
\int_{C}P\,dx+Q\,dy = \varphi(B)-\varphi(A).
Avaliemos \varphi nos pontos (podemos desprezar a constante C porque cancela na diferença):
Calcule \varphi(1,1):
\varphi(1,1) = e^{1}\cdot 1^{2} + 1\cdot 1 - 1^{2} + C = e + 1 - 1 + C = e + C.
Calcule \varphi(0,0):
\varphi(0,0) = e^{0}\cdot 0^{2} + 0\cdot 0 - 0^{2} + C = 0 + 0 - 0 + C = C.
Portanto a integral é
\varphi(1,1)-\varphi(0,0) = (e+C)-C = e.

Resposta

k=2
\displaystyle \int_{C}\left(k x e^{y}+y\right)\,dx+\left(x^{2} e^{y}+x-k y\right)\,dy = e (para k=2).

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