Calcule o trabalho realizado por uma partícula sob a ação da força \vec{F}(x, y)=(y, 2 x) que se desloca sobre a curva fechada C=C_{1} \cup C_{2}, no sentido anti-horário, onde C_{1} é o segmento de (0,1) para (1,0) e C_{2} é a parte da circunferência
(x-1)^{2}+(y-1)^{2}=1de
(1,0) para (0,1).
Passo 1
O enunciado fornece:
A força vetorial \vec{F}(x,y) = (y,\,2x). Ou seja, P(x,y)=y e Q(x,y)=2x.
A curva fechada C=C_{1}\cup C_{2}, orientada no sentido anti-horário (positiva):
C_{1} é o segmento de reta que vai de (0,1) até (1,0).
C_{2} é a parte da circunferência (x-1)^{2}+(y-1)^{2}=1 que vai de (1,0) até (0,1).
A pergunta: calcular o trabalho realizado pela força quando a partícula percorre C no sentido anti-horário. Em termos matemáticos, calcular \displaystyle \oint_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\oint_{C}P\,dx+Q\,dy.
Passo 2
Interpretando matematicamente o pedido: o trabalho é a integral de linha fechada
\oint_{C}P\,dx+Q\,dy
com P(x,y)=y e Q(x,y)=2x. Essa é a quantidade que devemos calcular explicitamente.
Passo 3
Escolha do método (explicação e motivação, devagarinho):
Poderíamos parametrizar C_{1} e C_{2} e calcular as integrais de linha separadamente — dá para fazer, mas fica trabalhoso e propenso a erros.
Como C é uma curva fechada simples e orientada positivamente e P,Q têm derivadas parciais contínuas, é muito mais prático usar o Teorema de Green para transformar a integral de linha num integral dupla sobre a região D limitada por C. Isso costuma simplificar muito o cálculo porque a integral dupla aqui será apenas a área de D multiplicada por uma função simples.
Vou então usar o Teorema de Green.
Passo 4
Enunciado do Teorema de Green (versão usada) e verificação das hipóteses:
Teorema de Green: se C é a fronteira positivamente orientada de uma região D no plano e P,Q têm derivadas parciais contínuas em uma vizinhança de D, então
Aqui P(x,y)=y e Q(x,y)=2x são polinomiais, logo têm derivadas parciais contínuas. A curva C descrita é fechada e simples e está orientada no sentido anti-horário (positivo). Portanto podemos aplicar Green.
Isto significa que a integral de linha vale exatamente a área da região D limitada por C.
Passo 6
Descrever a região D cuja área precisamos calcular:
A circunferência dada é (x-1)^{2}+(y-1)^{2}=1, portanto é um círculo de centro O=(1,1) e raio r=1.
Os pontos extremos na curva são A=(0,1) e B=(1,0). Esses pontos pertencem ao círculo (verificando: (0-1)^{2}+(1-1)^{2}=1, (1-1)^{2}+(0-1)^{2}=1).
A fronteira C é o segmento de reta A\to B (essa é C_{1}) seguido pela parte do círculo B\to A no sentido anti-horário (essa é C_{2}). Assim D é a região do círculo limitada pelo arco que vai de B a A (no sentido anti-horário) e pelo corda direta A B. Em outras palavras, D é o segmento circular correspondente ao arco do círculo que vai de B a A no sentido anti-horário.
Passo 7
Determinar o ângulo central correspondente ao arco (importante para a área do segmento):
Para medir o ângulo central, passe para coordenadas relativas ao centro O=(1,1).
Vetor do centro para A: \overrightarrow{OA} = A-O = (0-1,\,1-1)=(-1,0). Esse vetor tem ângulo \pi (ou 180^\circ).
Vetor do centro para B: \overrightarrow{OB} = B-O = (1-1,\,0-1)=(0,-1). Esse vetor tem ângulo -\tfrac{\pi}{2} (ou -90^\circ; equivalente a 3\pi/2).
O arco em C_{2} vai de B até A no sentido anti-horário, portanto o ângulo central \theta correspondente ao arco é
Fórmula geométrica para a área do segmento circular (explicação passo a passo):
A área da região do círculo limitada por um arco de ângulo central \theta (em radianos) e pela corda que une os extremos do arco é dada por
\text{Área do segmento}=\text{Área do setor} - \text{Área do triângulo isósceles do centro}.ÁÁÁâó
O setor de raio r e ângulo \theta tem área \dfrac{1}{2}r^{2}\theta.
O triângulo isósceles formado pelos dois raios e a corda tem área \dfrac{1}{2}r^{2}\sin\theta (esta fórmula vem da área =\tfrac{1}{2}ab\sin\gamma aplicada aos dois lados de comprimento r e ângulo entre eles \theta).
Conclusão final ligando tudo: pela aplicação do Teorema de Green, o trabalho pedido é igual à área de D. Portanto o trabalho realizado pela força quando a partícula percorre C no sentido anti-horário é
W=\frac{3\pi}{4}+\frac{1}{2}=\frac{3\pi+2}{4}.
Boa! Assim evitamos parametrizações longas e transformamos a integral de linha numa conta de geometria de área.