Calcule o trabalho realizado por uma partícula sob a ação da força \vec{F}(x, y)=(y, 2 x) que se desloca sobre a curva fechada C=C_{1} \cup C_{2}, no sentido anti-horário, onde C_{1} é o segmento de (0,1) para (1,0) e C_{2} é a parte da circunferência
(x-1)^{2}+(y-1)^{2}=1de
(1,0) para (0,1).

Passo 1

O enunciado fornece:
  • A força vetorial \vec{F}(x,y) = (y,\,2x). Ou seja, P(x,y)=y e Q(x,y)=2x.
  • A curva fechada C=C_{1}\cup C_{2}, orientada no sentido anti-horário (positiva):
    • C_{1} é o segmento de reta que vai de (0,1) até (1,0).
    • C_{2} é a parte da circunferência (x-1)^{2}+(y-1)^{2}=1 que vai de (1,0) até (0,1).
  • A pergunta: calcular o trabalho realizado pela força quando a partícula percorre C no sentido anti-horário. Em termos matemáticos, calcular \displaystyle \oint_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\oint_{C}P\,dx+Q\,dy.

Passo 2

Interpretando matematicamente o pedido: o trabalho é a integral de linha fechada
\oint_{C}P\,dx+Q\,dy
com P(x,y)=y e Q(x,y)=2x. Essa é a quantidade que devemos calcular explicitamente.

Passo 3

Escolha do método (explicação e motivação, devagarinho):
  • Poderíamos parametrizar C_{1} e C_{2} e calcular as integrais de linha separadamente — dá para fazer, mas fica trabalhoso e propenso a erros.
  • Como C é uma curva fechada simples e orientada positivamente e P,Q têm derivadas parciais contínuas, é muito mais prático usar o Teorema de Green para transformar a integral de linha num integral dupla sobre a região D limitada por C. Isso costuma simplificar muito o cálculo porque a integral dupla aqui será apenas a área de D multiplicada por uma função simples.
    Vou então usar o Teorema de Green.

Passo 4

Enunciado do Teorema de Green (versão usada) e verificação das hipóteses:
  • Teorema de Green: se C é a fronteira positivamente orientada de uma região D no plano e P,Q têm derivadas parciais contínuas em uma vizinhança de D, então
\oint_{C}P\,dx+Q\,dy=\iint_{D}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dA.
  • Aqui P(x,y)=y e Q(x,y)=2x são polinomiais, logo têm derivadas parciais contínuas. A curva C descrita é fechada e simples e está orientada no sentido anti-horário (positivo). Portanto podemos aplicar Green.

Passo 5

Cálculo do integrando (o “rotacional” no plano):
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial x}(2x)-\frac{\partial}{\partial y}(y) =2-1=1.
Logo, pela aplicação do Teorema de Green,
\oint_{C}P\,dx+Q\,dy=\iint_{D}1\,dA.
Isto significa que a integral de linha vale exatamente a área da região D limitada por C.

Passo 6

Descrever a região D cuja área precisamos calcular:
  • A circunferência dada é (x-1)^{2}+(y-1)^{2}=1, portanto é um círculo de centro O=(1,1) e raio r=1.
  • Os pontos extremos na curva são A=(0,1) e B=(1,0). Esses pontos pertencem ao círculo (verificando: (0-1)^{2}+(1-1)^{2}=1, (1-1)^{2}+(0-1)^{2}=1).
  • A fronteira C é o segmento de reta A\to B (essa é C_{1}) seguido pela parte do círculo B\to A no sentido anti-horário (essa é C_{2}). Assim D é a região do círculo limitada pelo arco que vai de B a A (no sentido anti-horário) e pelo corda direta A B. Em outras palavras, D é o segmento circular correspondente ao arco do círculo que vai de B a A no sentido anti-horário.

Passo 7

Determinar o ângulo central correspondente ao arco (importante para a área do segmento):
  • Para medir o ângulo central, passe para coordenadas relativas ao centro O=(1,1).
  • Vetor do centro para A: \overrightarrow{OA} = A-O = (0-1,\,1-1)=(-1,0). Esse vetor tem ângulo \pi (ou 180^\circ).
  • Vetor do centro para B: \overrightarrow{OB} = B-O = (1-1,\,0-1)=(0,-1). Esse vetor tem ângulo -\tfrac{\pi}{2} (ou -90^\circ; equivalente a 3\pi/2).
  • O arco em C_{2} vai de B até A no sentido anti-horário, portanto o ângulo central \theta correspondente ao arco é
\theta = \pi - \bigl(-\tfrac{\pi}{2}\bigr)=\pi+\tfrac{\pi}{2}=\tfrac{3\pi}{2}.

Passo 8

Fórmula geométrica para a área do segmento circular (explicação passo a passo):
  • A área da região do círculo limitada por um arco de ângulo central \theta (em radianos) e pela corda que une os extremos do arco é dada por
\text{Área do segmento}=\text{Área do setor} - \text{Área do triângulo isósceles do centro}.ÁÁÁâó
  • O setor de raio r e ângulo \theta tem área \dfrac{1}{2}r^{2}\theta.
  • O triângulo isósceles formado pelos dois raios e a corda tem área \dfrac{1}{2}r^{2}\sin\theta (esta fórmula vem da área =\tfrac{1}{2}ab\sin\gamma aplicada aos dois lados de comprimento r e ângulo entre eles \theta).
  • Portanto a área do segmento é
\text{Área}=\frac{1}{2}r^{2}\theta-\frac{1}{2}r^{2}\sin\theta=\frac{1}{2}r^{2}(\theta-\sin\theta).Á
  • Aqui r=1 e \theta=\tfrac{3\pi}{2}, logo
\text{Área}(D)=\frac{1}{2}\bigl(\tfrac{3\pi}{2}-\sin(\tfrac{3\pi}{2})\bigr).Á

Passo 9

Avaliação numérica simbólica e simplificação:
  • Primeiro calcule \sin(\tfrac{3\pi}{2}). Sabe-se que \sin(\tfrac{3\pi}{2})=-1.
  • Substituindo,
\text{Área}(D)=\frac{1}{2}\Bigl(\frac{3\pi}{2}-(-1)\Bigr) =\frac{1}{2}\Bigl(\frac{3\pi}{2}+1\Bigr) =\frac{3\pi}{4}+\frac{1}{2}.Á
  • Podemos também escrever de forma combinada:
\text{Área}(D)=\frac{3\pi+2}{4}.Á

Passo 10

Conclusão final ligando tudo: pela aplicação do Teorema de Green, o trabalho pedido é igual à área de D. Portanto o trabalho realizado pela força quando a partícula percorre C no sentido anti-horário é
W=\frac{3\pi}{4}+\frac{1}{2}=\frac{3\pi+2}{4}.
Boa! Assim evitamos parametrizações longas e transformamos a integral de linha numa conta de geometria de área.

Resposta

\dfrac{3\pi+2}{4}

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