Calcule a integral \int_{C} y \sin z d s, onde C é a hélice circular dada pelas equações x=\cos t, y=\sin t, z=t, \quad 0 \leq t \leq 2 \pi.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{C} y \sin z \, d s,
onde a curva C é a hélice circular dada pelas equações
x=\cos t,\quad y=\sin t,\quad z=t,\quad 0 \leq t \leq 2\pi.
Informações relevantes fornecidas: a parametrização da curva C em termos de t e o intervalo de parâmetro 0 a 2\pi. A função a integrar ao longo da curva é y\sin z multiplicada por d s, o elemento de comprimento da curva.

Passo 2

Conceito usado (explicação didática): a integral de linha de uma função escalar f(x,y,z) ao longo de uma curva parametrizada por \mathbf{r}(t), a\le t\le b, é dada por
\int_{C} f(x,y,z)\, d s = \int_{a}^{b} f(\mathbf{r}(t))\, \big\lVert \mathbf{r}'(t)\big\rVert \, dt.
Aqui \mathbf{r}'(t) é a derivada vetor da parametrização e \big\lVert \mathbf{r}'(t)\big\rVert é a sua norma (o módulo), que representa a velocidade da curva; multiplicando por dt obtemos o elemento de comprimento d s. Em termos práticos: substituímos x,y,z por suas expressões em t, e multiplicamos pelo fator |\mathbf{r}'(t)|.

Passo 3

Parametrização da curva em forma vetorial:
\mathbf{r}(t) = (\cos t,\; \sin t,\; t),\qquad 0\le t\le 2\pi.
Derivando componente a componente:
\mathbf{r}'(t) = (-\sin t,\; \cos t,\; 1).
Agora calculamos a norma \big\lVert \mathbf{r}'(t)\big\rVert:
\big\lVert \mathbf{r}'(t)\big\rVert = \sqrt{(-\sin t)^2 + (\cos t)^2 + 1^2} = \sqrt{\sin^2 t + \cos^2 t + 1}.
Como \sin^2 t + \cos^2 t = 1, temos
\big\lVert \mathbf{r}'(t)\big\rVert = \sqrt{1+1} = \sqrt{2},
que é constante ao longo da hélice. Pequeno comentário motivador: ótimo, uma norma constante facilita muito o cálculo — respira fundo!

Passo 4

Substituímos a função f(x,y,z)=y\sin z pela parametrização. Usando y=\sin t e z=t (dados do enunciado):
f(\mathbf{r}(t)) = y\sin z = \sin t \cdot \sin t = \sin^2 t.
Portanto o integrando completo (função vezes d s) é \sin^2 t \cdot \sqrt{2}.

Passo 5

Montamos a integral usando a fórmula do Passo 2:
\int_{C} y\sin z\, d s = \int_{0}^{2\pi} \sin^2 t \; \big\lVert \mathbf{r}'(t)\big\rVert \, dt = \int_{0}^{2\pi} \sin^2 t \cdot \sqrt{2}\, dt.
Como \sqrt{2} é constante, podemos colocá-la fora da integral:
\int_{C} y\sin z\, d s = \sqrt{2}\int_{0}^{2\pi} \sin^2 t \, dt.

Passo 6

Calculamos \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \sin^2 t \, dt. Usamos a identidade trigonométrica
\sin^2 t = \frac{1-\cos(2t)}{2}.
Substituindo na integral:
\int_{0}^{2\pi} \sin^2 t \, dt = \int_{0}^{2\pi} \frac{1-\cos(2t)}{2}\, dt = \frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi} 1\, dt - \frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi} \cos(2t)\, dt.
Calculamos separadamente: \displaystyle \int_{0}^{2\pi} 1\, dt = 2\pi. E
\displaystyle \int_{0}^{2\pi} \cos(2t)\, dt = \left.\tfrac{1}{2}\sin(2t)\right|_{0}^{2\pi} = \tfrac{1}{2}(\sin(4\pi)-\sin 0)=0.
Logo
\int_{0}^{2\pi} \sin^2 t \, dt = \frac{1}{2}\cdot 2\pi - \frac{1}{2}\cdot 0 = \pi.

Passo 7

Voltando à integral com o fator \sqrt{2}:
\int_{C} y\sin z\, d s = \sqrt{2}\cdot \pi = \pi\sqrt{2}.
Isso é o resultado final. Parabéns — foi direto porque a norma da derivada era constante e a integral de \sin^2 sobre um período completo é simples.

Resposta

\pi\sqrt{2}

Exercícios relacionados