Calcule a integral \int_{C} y \sin z d s, onde C é a hélice circular dada pelas equações x=\cos t, y=\sin t, z=t, \quad 0 \leq t \leq 2 \pi.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{C} y \sin z \, d s,
onde a curva C é a hélice circular dada pelas equações
x=\cos t,\quad y=\sin t,\quad z=t,\quad 0 \leq t \leq 2\pi.
Informações relevantes fornecidas: a parametrização da curva C em termos de t e o intervalo de parâmetro 0 a 2\pi. A função a integrar ao longo da curva é y\sin z multiplicada por d s, o elemento de comprimento da curva.
Passo 2
Conceito usado (explicação didática): a integral de linha de uma função escalar f(x,y,z) ao longo de uma curva parametrizada por \mathbf{r}(t), a\le t\le b, é dada por
\int_{C} f(x,y,z)\, d s = \int_{a}^{b} f(\mathbf{r}(t))\, \big\lVert \mathbf{r}'(t)\big\rVert \, dt.
Aqui \mathbf{r}'(t) é a derivada vetor da parametrização e \big\lVert \mathbf{r}'(t)\big\rVert é a sua norma (o módulo), que representa a velocidade da curva; multiplicando por dt obtemos o elemento de comprimento d s. Em termos práticos: substituímos x,y,z por suas expressões em t, e multiplicamos pelo fator |\mathbf{r}'(t)|.