Considere o campo vetorial \vec{F}(x, y, z)=y z e^{x y z} \vec{i}+x z e^{x y z} \vec{j}+x y e^{x y z} \vec{k}
a) Encontre sua função potencial
b)Calcule \int_{C} \vec{F} \cdot \overrightarrow{d r} se C for a espiral descrita pelo caminho:
g(t)=5 \cos (t) \vec{i}+5 \sin (t) \vec{j}+t^{2} \vec{k}, 0 \leq t \leq \frac{\pi}{4}
\left(\mathrm{f}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})=e^{x y z}+C, \quad W=\left[e^{\frac{25 \pi^{2}}{32}}-1\right] J\right)

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
\vec{F}(x,y,z)=y z e^{x y z}\,\vec{i}+x z e^{x y z}\,\vec{j}+x y e^{x y z}\,\vec{k}
e pede duas coisas:
  1. Encontre a função potencial de \vec{F}.
  2. Calcule \displaystyle\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r} quando C é a espiral parametrizada por
g(t)=5\cos(t)\,\vec{i}+5\sin(t)\,\vec{j}+t^{2}\,\vec{k},\qquad 0\le t\le\frac{\pi}{4}.
Informações relevantes fornecidas: a expressão de \vec{F} (três componentes) e a parametrização g(t) do caminho (usada para obter os pontos inicial e final).

Passo 2

O que significa “função potencial”? Vou explicar devagar, como num amigo que não deixou nada no vácuo: uma função f(x,y,z) é potencial de \vec{F} se
\vec{F}=\nabla f,
ou seja, suas componentes são as derivadas parciais de f:
\frac{\partial f}{\partial x} = F_x,\qquad \frac{\partial f}{\partial y} = F_y,\qquad \frac{\partial f}{\partial z} = F_z.
Aqui temos F_x=y z e^{x y z}, F_y=x z e^{x y z}, F_z=x y e^{x y z}. A estratégia prática para achar f é integrar uma dessas igualdades (geralmente a componente F_x em relação a x), obter uma expressão com uma “constante” que pode depender das outras variáveis, e depois determinar essa função desconhecida comparando com as outras componentes.

Passo 3

Integro a igualdade \displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}=y z e^{x y z} em relação a x, tratando y e z como constantes:
Quando integro y z e^{x y z} em x, uso uma substituição mental: seja u=x y z. Então du = y z\,dx. Assim
\int y z e^{x y z}\,dx = \int e^{u}\,du = e^{u} + \text{const} = e^{x y z} + h(y,z),
onde h(y,z) é a “constante” de integração que pode depender de y e z. Logo, a partir da componente x eu obtenho
f(x,y,z)=e^{x y z}+h(y,z).

Passo 4

Agora uso a condição \displaystyle\frac{\partial f}{\partial y}=F_y = x z e^{x y z} para determinar h(y,z).
Calculo a derivada parcial de f em relação a y:
\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\big(e^{x y z}\big)+\frac{\partial h}{\partial y}.
A derivada de e^{x y z} em relação a y é, pela regra da cadeia, x z e^{x y z}. Portanto
\frac{\partial f}{\partial y}=x z e^{x y z} + \frac{\partial h}{\partial y}.
Mas sabemos que a mesma derivada deve ser igual a F_y=x z e^{x y z}. Igualando:
x z e^{x y z} + \frac{\partial h}{\partial y} = x z e^{x y z}.
Logo \displaystyle\frac{\partial h}{\partial y}=0. Isso significa que h não depende de y; portanto h é função apenas de z: h(y,z)=k(z).

Passo 5

Agora uso a terceira componente para fixar k(z). A partir de f(x,y,z)=e^{x y z}+k(z), calculo
\frac{\partial f}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}\big(e^{x y z}\big)+k'(z).
Pela regra da cadeia, \displaystyle\frac{\partial}{\partial z}e^{x y z}=x y e^{x y z}. Então
\frac{\partial f}{\partial z}=x y e^{x y z}+k'(z).
Mas \displaystyle\frac{\partial f}{\partial z} deve ser F_z=x y e^{x y z}. Assim
x y e^{x y z}+k'(z)=x y e^{x y z}\quad\Rightarrow\quad k'(z)=0.
Logo k(z) é constante. Chamando essa constante de C, obtemos a função potencial geral
f(x,y,z)=e^{x y z}+C.
Na prática podemos escolher C=0 se quisermos uma potencial específica.

Passo 6

Explico agora como calcular a integral de linha: se \vec{F}=\nabla f é um campo conservativo (tem função potencial), então a integral de linha entre dois pontos do caminho depende só dos pontos extremos, não do caminho. Formalmente,
\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=f(\text{ponto final})-f(\text{ponto inicial}).
Isso evita ter que parametrizar o caminho e integrar componente a componente — uma grande economia na prova!

Passo 7

Vamos usar a parametrização dada para obter os pontos inicial e final do caminho C. Para t=0:
g(0)=\big(5\cos 0,\,5\sin 0,\,0^{2}\big)=(5,0,0).
Para t=\frac{\pi}{4}:
g\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\left(5\cos\frac{\pi}{4},\,5\sin\frac{\pi}{4},\,\left(\frac{\pi}{4}\right)^{2}\right).
Como \cos\frac{\pi}{4}=\sin\frac{\pi}{4}=\frac{1}{\sqrt{2}}, temos
x\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right)=\frac{5}{\sqrt{2}},\qquad y\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right)=\frac{5}{\sqrt{2}},\qquad z\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right)=\frac{\pi^{2}}{16}.
Multiplicando para obter x y z no ponto final:
x y z = \frac{5}{\sqrt{2}}\cdot\frac{5}{\sqrt{2}}\cdot\frac{\pi^{2}}{16} = \frac{25}{2}\cdot\frac{\pi^{2}}{16} = \frac{25\pi^{2}}{32}.

Passo 8

Aplicando a fórmula da diferença de potenciais:
\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=f\!\left(g\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right)\right)-f\!\big(g(0)\big).
Como f(x,y,z)=e^{x y z}+C, tomando C=0 para simplificar,
f\!\big(g(0)\big)=e^{(5)(0)(0)}=e^{0}=1,
e
f\!\left(g\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right)\right)=e^{\frac{25\pi^{2}}{32}}.
Portanto
\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=e^{\frac{25\pi^{2}}{32}}-1.
Boa! Concluímos sem precisar fazer a integral paramétrica pesada.

Resposta

f(x,y,z)=e^{x y z}+C
\displaystyle \int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=e^{\frac{25\pi^{2}}{32}}-1

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