Considere o campo vetorial \vec{F}(x, y, z)=y z e^{x y z} \vec{i}+x z e^{x y z} \vec{j}+x y e^{x y z} \vec{k}
a) Encontre sua função potencial
b)Calcule \int_{C} \vec{F} \cdot \overrightarrow{d r} se C for a espiral descrita pelo caminho:
Informações relevantes fornecidas: a expressão de \vec{F} (três componentes) e a parametrização g(t) do caminho (usada para obter os pontos inicial e final).
Passo 2
O que significa “função potencial”? Vou explicar devagar, como num amigo que não deixou nada no vácuo: uma função f(x,y,z) é potencial de \vec{F} se
\vec{F}=\nabla f,
ou seja, suas componentes são as derivadas parciais de f:
Aqui temos F_x=y z e^{x y z}, F_y=x z e^{x y z}, F_z=x y e^{x y z}. A estratégia prática para achar f é integrar uma dessas igualdades (geralmente a componente F_x em relação a x), obter uma expressão com uma “constante” que pode depender das outras variáveis, e depois determinar essa função desconhecida comparando com as outras componentes.
Passo 3
Integro a igualdade \displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}=y z e^{x y z} em relação a x, tratando y e z como constantes:
Quando integro y z e^{x y z} em x, uso uma substituição mental: seja u=x y z. Então du = y z\,dx. Assim
\int y z e^{x y z}\,dx = \int e^{u}\,du = e^{u} + \text{const} = e^{x y z} + h(y,z),
onde h(y,z) é a “constante” de integração que pode depender de y e z. Logo, a partir da componente x eu obtenho
f(x,y,z)=e^{x y z}+h(y,z).
Passo 4
Agora uso a condição \displaystyle\frac{\partial f}{\partial y}=F_y = x z e^{x y z} para determinar h(y,z).
Calculo a derivada parcial de f em relação a y:
\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\big(e^{x y z}\big)+\frac{\partial h}{\partial y}.
A derivada de e^{x y z} em relação a y é, pela regra da cadeia, x z e^{x y z}. Portanto
\frac{\partial f}{\partial y}=x z e^{x y z} + \frac{\partial h}{\partial y}.
Mas sabemos que a mesma derivada deve ser igual a F_y=x z e^{x y z}. Igualando:
x z e^{x y z} + \frac{\partial h}{\partial y} = x z e^{x y z}.
Logo \displaystyle\frac{\partial h}{\partial y}=0. Isso significa que h não depende de y; portanto h é função apenas de z: h(y,z)=k(z).
Passo 5
Agora uso a terceira componente para fixar k(z). A partir de f(x,y,z)=e^{x y z}+k(z), calculo
\frac{\partial f}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}\big(e^{x y z}\big)+k'(z).
Pela regra da cadeia, \displaystyle\frac{\partial}{\partial z}e^{x y z}=x y e^{x y z}. Então
\frac{\partial f}{\partial z}=x y e^{x y z}+k'(z).
Mas \displaystyle\frac{\partial f}{\partial z} deve ser F_z=x y e^{x y z}. Assim
x y e^{x y z}+k'(z)=x y e^{x y z}\quad\Rightarrow\quad k'(z)=0.
Logo k(z) é constante. Chamando essa constante de C, obtemos a função potencial geral
f(x,y,z)=e^{x y z}+C.
Na prática podemos escolher C=0 se quisermos uma potencial específica.
Passo 6
Explico agora como calcular a integral de linha: se \vec{F}=\nabla f é um campo conservativo (tem função potencial), então a integral de linha entre dois pontos do caminho depende só dos pontos extremos, não do caminho. Formalmente,