Esboce a região no plano que consiste em pontos cujas coordenadas polares satisfazem as condições dadas.
r \equiv 1, pi \leqslant \theta \leqslant 2 \pi

Passo 1

O enunciado pede que esbocemos a região no plano formada pelos pontos cujas coordenadas polares satisfazem
r \equiv 1,\qquad \pi \le \theta \le 2\pi.
Informações dadas:
  • \,r\equiv1 significa que o raio polar tem valor fixo igual a 1.
  • \,\theta varia no intervalo [\pi,2\pi].
    O que se pede: desenhar (esboçar) todos os pontos do plano que correspondem a essas condições.

Passo 2

Lembra do básico de coordenadas polares (recapitulando devagar como se estivéssemos no quadro juntos):
  • As coordenadas polares (r,\theta) relacionam-se com as coordenadas cartesianas (x,y) por
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta.
  • O quadrado da distância ao centro (origem) é
x^2+y^2 = r^2.
Aqui r é a distância do ponto à origem e \theta é o ângulo medido a partir do eixo x positivo.

Passo 3

Aplicando isso ao nosso caso \,r\equiv1:
  • Como r=1 para todos os pontos, substituindo em x^2+y^2=r^2 obtemos
x^2+y^2 = 1.
Isso é a equação do círculo de raio 1 centrado na origem. Portanto os pontos com r=1 estão todos sobre esse círculo (a circunferência), não dentro dele.

Passo 4

Agora vamos ver o efeito da condição sobre \theta: \pi\le\theta\le2\pi.
  • Para \theta=\pi temos
x=\cos\pi=-1,\qquad y=\sin\pi=0,
ou seja o ponto (-1,0).
  • Para \theta=\tfrac{3\pi}{2} temos
x=\cos\frac{3\pi}{2}=0,\qquad y=\sin\frac{3\pi}{2}=-1,
ou seja o ponto (0,-1).
  • Para \theta=2\pi temos
x=\cos2\pi=1,\qquad y=\sin2\pi=0,
ou seja o ponto (1,0).
Esses três pontos mostram que o parâmetro \theta percorre a metade inferior do círculo: de (-1,0) passando por (0,-1) até (1,0).

Passo 5

Uma observação útil (que ajuda a justificar o passo anterior sem visual): para \theta\in[\pi,2\pi] vale \sin\theta\le0. Como y=r\sin\theta e r=1, temos y=\sin\theta\le0. Logo todos os pontos têm coordenada y não positiva, ou seja estão na metade inferior do plano (abaixo ou sobre o eixo x). Juntando com x^2+y^2=1, concluímos que os pontos são exatamente o arco inferior do círculo unitário.

Passo 6

Concluindo a descrição geométrica: a região pedida é um arco da circunferência de raio 1, correspondente ao semicírculo inferior, incluindo as extremidades em (-1,0) e (1,0). Não é o disco preenchido — é apenas a curva (a circunferência) restrita ao intervalo de ângulos dado.

Passo 7

Como esboçar na folha (passo a passo prático para a prova):
  1. Desenhe os eixos x e y e marque a origem.
  2. Desenhe o círculo de raio 1 centrado na origem (use marcações (-1,0), (1,0), (0,1), (0,-1) para garantir escala).
  3. Pinte ou destaque somente o arco que vai de (-1,0) passando por (0,-1) até (1,0) — este é o semicírculo inferior. Inclua os pontos finais (eles pertencem ao arco porque os extremos do intervalo de \theta estão incluídos).

Resposta

O arco semicircular inferior da circunferência de raio 1 centrada na origem, ou seja, o conjunto \{(x,y)\mid x^2+y^2=1,\; y\le0\}, incluindo os pontos (-1,0) e (1,0).

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