Esboce a região no plano que consiste em pontos cujas coordenadas polares satisfazem as condições dadas.
Passo 1
O enunciado pede que esbocemos a região no plano formada pelos pontos cujas coordenadas polares satisfazem
Informações dadas:
-
significa que o raio polar tem valor fixo igual a . -
varia no intervalo .
O que se pede: desenhar (esboçar) todos os pontos do plano que correspondem a essas condições.
Passo 2
Lembra do básico de coordenadas polares (recapitulando devagar como se estivéssemos no quadro juntos):
- As coordenadas polares
relacionam-se com as coordenadas cartesianas por
- O quadrado da distância ao centro (origem) é
Aqui
é a distância do ponto à origem e
é o ângulo medido a partir do eixo
positivo.
Passo 3
Aplicando isso ao nosso caso
:
- Como
para todos os pontos, substituindo em obtemos
Isso é a equação do círculo de raio
centrado na origem. Portanto os pontos com
estão todos sobre esse círculo (a circunferência), não dentro dele.
Passo 4
Agora vamos ver o efeito da condição sobre
:
.
- Para
temos
ou seja o ponto
.
- Para
temos
ou seja o ponto
.
- Para
temos
ou seja o ponto
.
Esses três pontos mostram que o parâmetro
percorre a metade inferior do círculo: de
passando por
até
.
Passo 5
Uma observação útil (que ajuda a justificar o passo anterior sem visual): para
vale
. Como
e
, temos
. Logo todos os pontos têm coordenada
não positiva, ou seja estão na metade inferior do plano (abaixo ou sobre o eixo
). Juntando com
, concluímos que os pontos são exatamente o arco inferior do círculo unitário.
Passo 6
Concluindo a descrição geométrica: a região pedida é um arco da circunferência de raio
, correspondente ao semicírculo inferior, incluindo as extremidades em
e
. Não é o disco preenchido — é apenas a curva (a circunferência) restrita ao intervalo de ângulos dado.
Passo 7
Como esboçar na folha (passo a passo prático para a prova):
- Desenhe os eixos
e e marque a origem. - Desenhe o círculo de raio
centrado na origem (use marcações , , , para garantir escala). - Pinte ou destaque somente o arco que vai de
passando por até — este é o semicírculo inferior. Inclua os pontos finais (eles pertencem ao arco porque os extremos do intervalo de estão incluídos).
Resposta
O arco semicircular inferior da circunferência de raio
centrada na origem, ou seja, o conjunto
, incluindo os pontos
e
.