Calcule a integral.
\int_{0}^{1} \cos \pi x \operatorname{tg} \pi x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\displaystyle \int_{0}^{1}\cos(\pi x)\,\tan(\pi x)\,dx.
O conteúdo envolve uso de identidades trigonométricas e integração de funções elementares.

Passo 2

Usamos a identidade
\tan(\pi x)=\dfrac{\sin(\pi x)}{\cos(\pi x)}.
Logo, para todo x\neq \tfrac12,
\cos(\pi x)\,\tan(\pi x) =\cos(\pi x)\,\frac{\sin(\pi x)}{\cos(\pi x)} =\sin(\pi x).
Note que em x=\tfrac12 havia singularidade em \tan(\pi x), mas após simplificação a expressão estendida é \sin(\pi x), contínua em [0,1].

Passo 3

Logo a integral se reduz a
\int_{0}^{1}\sin(\pi x)\,dx.

Passo 4

Uma primitiva de \sin(\pi x) é
-\frac{1}{\pi}\cos(\pi x).
Portanto, avaliando de 0 a 1:

Passo 5

\left[-\frac{1}{\pi}\cos(\pi x)\right]_{0}^{1} =-\frac{1}{\pi}\bigl(\cos(\pi)-\cos(0)\bigr) =-\frac{1}{\pi}\bigl(-1-1\bigr) =\frac{2}{\pi}.

Resposta

\displaystyle \frac{2}{\pi}

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