Calcule a integral:
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
.
Informações dadas: a função a integrar é
e queremos uma primitiva (ou antiderivada), ou seja, uma expressão cuja derivada seja
. Precisamos também incluir a constante de integração
.
Passo 2
Identidade trigonométrica útil (vamos derivá‑la passo a passo): comece da fórmula do cosseno do ângulo duplo
Usando
obtemos
Rearranjando para
aparece a identidade chamada “fórmula do ângulo metade” (ou meia‑ângulo):
Essa identidade é útil porque transforma o quadrado do cosseno numa soma de termos fáceis de integrar.
Passo 3
Substituímos a identidade na integral:
Usando linearidade da integral (posso separar soma e fator constante), temos
Vou calcular cada parcela separadamente.
Passo 4
A primeira parcela é direta:
Explicação rápida: a antiderivada de
em relação a
é
, porque
.
Passo 5
Agora a segunda parcela
.
Há duas maneiras práticas; uso a regra padrão para que dá
, ou faço substituição explícita. Faço substituição breve para ficar bem claro:
Há duas maneiras práticas; uso a regra padrão para
Seja
. Então
e
. Assim
A antiderivada de
é
, logo
Passo 6
Agora juntamos as duas parcelas e adicionamos a constante de integração
:
Como observação alternativa, usando
dá também a forma
que às vezes é mais conveniente dependendo do problema.