Calcule a integral:
Passo 1
O enunciado dá a integral
Vou interpretar
como a notação portuguesa para tangente (ou seja,
). Assim tomo como dado o integrando
portanto a integral que vou resolver é
Informações relevantes fornecidas: o integrando envolve a função
aplicada a
em potência
e o fator
que é a derivada (até constante) de
; há também um factor
extra que combina com a derivada de
.
Passo 2
Planejamento (ideia do método): quando vemos
e
juntos, lembra a derivada de
. Vou usar a substituição
Antes de substituir, vamos calcular
usando a regra da cadeia. Regra da cadeia (em palavras): a derivada de uma composição
é
.
Passo 3
Calcular
. Sabemos que
(essa é uma identidade básica das derivadas das funções trigonométricas). Aplicando a regra da cadeia a
,
Como
, obtemos
Daí isolamos o pedaço que aparece no integrando:
Passo 4
Reescrever a integral em termos de
. O integrando original é
multiplicado por
. Substituindo
e
, temos
Passo 5
Integrar
. Usamos a regra do poder para integrais: para
,
Aqui
, então
Multiplicando pelo
obtido antes:
Passo 6
Voltar à variável original
. Lembrando que
, substituímos:
Passo 7
Verificação rápida (opcional mas bom para prova): derivando o resultado para checar que obtemos o integrando.
que é exatamente o integrando. Tudo confere.