Calcule a integral:
\int t \operatorname{sec} ^{2}\left(t^{2}\right) t g^{4}\left(t^{2}\right) d t

Passo 1

O enunciado dá a integral
\int t \operatorname{sec}^{2}\bigl(t^{2}\bigr)\; t\; g^{4}\bigl(t^{2}\bigr)\,dt.
Vou interpretar g como a notação portuguesa para tangente (ou seja, g=\operatorname{tg}=\tan). Assim tomo como dado o integrando
t \operatorname{sec}^{2}\bigl(t^{2}\bigr)\tan^{4}\bigl(t^{2}\bigr),
portanto a integral que vou resolver é
\int t \operatorname{sec}^{2}\bigl(t^{2}\bigr)\tan^{4}\bigl(t^{2}\bigr)\,dt.
Informações relevantes fornecidas: o integrando envolve a função \tan aplicada a t^{2} em potência 4 e o fator \operatorname{sec}^{2}(t^{2}) que é a derivada (até constante) de \tan(t^{2}); há também um factor t extra que combina com a derivada de t^{2}.

Passo 2

Planejamento (ideia do método): quando vemos \tan(t^{2}) e \operatorname{sec}^{2}(t^{2}) juntos, lembra a derivada de \tan. Vou usar a substituição
u=\tan\bigl(t^{2}\bigr).
Antes de substituir, vamos calcular du usando a regra da cadeia. Regra da cadeia (em palavras): a derivada de uma composição f(g(t)) é f'(g(t))\cdot g'(t).

Passo 3

Calcular du. Sabemos que \dfrac{d}{dx}\tan x=\operatorname{sec}^{2}x (essa é uma identidade básica das derivadas das funções trigonométricas). Aplicando a regra da cadeia a u=\tan(t^{2}),
du = \frac{d}{dt}\bigl(\tan(t^{2})\bigr)\,dt = \operatorname{sec}^{2}\bigl(t^{2}\bigr)\cdot \frac{d}{dt}\bigl(t^{2}\bigr)\,dt.
Como \dfrac{d}{dt}(t^{2})=2t, obtemos
du = 2t\operatorname{sec}^{2}\bigl(t^{2}\bigr)\,dt.
Daí isolamos o pedaço que aparece no integrando:
t\operatorname{sec}^{2}\bigl(t^{2}\bigr)\,dt = \frac{1}{2}\,du.

Passo 4

Reescrever a integral em termos de u. O integrando original é \tan^{4}\bigl(t^{2}\bigr) multiplicado por t\operatorname{sec}^{2}\bigl(t^{2}\bigr)\,dt. Substituindo \tan(t^{2})=u e t\operatorname{sec}^{2}(t^{2})\,dt=\dfrac{1}{2}du, temos
\int t \operatorname{sec}^{2}\bigl(t^{2}\bigr)\tan^{4}\bigl(t^{2}\bigr)\,dt = \int u^{4}\cdot \frac{1}{2}\,du = \frac{1}{2}\int u^{4}\,du.

Passo 5

Integrar \dfrac{1}{2}\int u^{4}\,du. Usamos a regra do poder para integrais: para n\neq -1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui n=4, então
\int u^{4}\,du = \frac{u^{5}}{5}+C.
Multiplicando pelo \dfrac{1}{2} obtido antes:
\frac{1}{2}\int u^{4}\,du = \frac{1}{2}\cdot\frac{u^{5}}{5}+C = \frac{u^{5}}{10}+C.

Passo 6

Voltar à variável original t. Lembrando que u=\tan\bigl(t^{2}\bigr), substituímos:
\frac{u^{5}}{10}+C = \frac{\tan^{5}\bigl(t^{2}\bigr)}{10}+C.

Passo 7

Verificação rápida (opcional mas bom para prova): derivando o resultado para checar que obtemos o integrando.
\frac{d}{dt}\!\left(\frac{\tan^{5}\bigl(t^{2}\bigr)}{10}\right) = \frac{1}{10}\cdot 5\tan^{4}\bigl(t^{2}\bigr)\cdot \frac{d}{dt}\bigl(\tan(t^{2})\bigr) = \frac{1}{2}\tan^{4}\bigl(t^{2}\bigr)\cdot 2t\operatorname{sec}^{2}\bigl(t^{2}\bigr) = t\operatorname{sec}^{2}\bigl(t^{2}\bigr)\tan^{4}\bigl(t^{2}\bigr),
que é exatamente o integrando. Tudo confere.

Resposta

\displaystyle \frac{\tan^{5}\bigl(t^{2}\bigr)}{10}+C

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