Calcule a integral:
Passo 1
O enunciado pede calcular a primitiva (antiderivada) da função dada. Dados fornecidos:
- A integral a calcular é
. - A variável de integração é
.
A pergunta é: encontrar uma funçãotal que (ou seja, achar a integral indefinida).
Passo 2
Ideia de resolução (motivo da escolha): a integranda é um produto de uma potência de
por
. Repare que a derivada de
é
. Então a expressão contém uma função (
) elevada a uma potência e também aparece (até sinal) a sua derivada. Isso é um sinal clássico de que uma substituição do tipo
torna a integral num polinômio em
, o que é fácil de integrar. Vou aplicar essa substituição e explicar cada passo.
Passo 3
Fazer a substituição
. Calcular
:
Isolando
obtemos
Agora substituir na integral original:
vira
e
vira
. Assim
Passo 4
Integrar o polinômio em
usando a regra da potência para integrais: para
vale
. Aqui
, logo
Passo 5
Voltar à variável original substituindo
:
Esta é a primitiva procurada. Vou fazer uma verificação rápida por derivação para garantir que não houve erro.
Passo 6
Verificação por derivação (checar que a derivada da resposta é a integranda). Diferenciando
:
A derivada coincide com a integranda, confirmação completa.