Calcule a integral:
\int \cos ^{3}(x) \operatorname{sen}(x) d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a primitiva (antiderivada) da função dada. Dados fornecidos:
  • A integral a calcular é \displaystyle \int \cos^{3}(x)\,\operatorname{sen}(x)\,dx.
  • A variável de integração é x.
    A pergunta é: encontrar uma função F(x) tal que F'(x)=\cos^{3}(x)\,\operatorname{sen}(x) (ou seja, achar a integral indefinida).

Passo 2

Ideia de resolução (motivo da escolha): a integranda é um produto de uma potência de \cos(x) por \operatorname{sen}(x). Repare que a derivada de \cos(x) é \dfrac{d}{dx}\cos(x)=-\operatorname{sen}(x). Então a expressão contém uma função ( \cos(x)) elevada a uma potência e também aparece (até sinal) a sua derivada. Isso é um sinal clássico de que uma substituição do tipo u=\cos(x) torna a integral num polinômio em u, o que é fácil de integrar. Vou aplicar essa substituição e explicar cada passo.

Passo 3

Fazer a substituição u=\cos(x). Calcular du:
u=\cos(x)
du=\frac{d}{dx}\cos(x)\,dx=-\operatorname{sen}(x)\,dx.
Isolando \operatorname{sen}(x)\,dx obtemos
\operatorname{sen}(x)\,dx=-du.
Agora substituir na integral original: \cos^{3}(x) vira u^{3} e \operatorname{sen}(x)\,dx vira -du. Assim
\int \cos^{3}(x)\,\operatorname{sen}(x)\,dx = \int u^{3}\,(-du) = -\int u^{3}\,du.

Passo 4

Integrar o polinômio em u usando a regra da potência para integrais: para n\neq -1 vale \displaystyle \int u^{n}\,du=\frac{u^{n+1}}{n+1}+C. Aqui n=3, logo
-\int u^{3}\,du = -\left(\frac{u^{4}}{4}\right)+C = -\frac{u^{4}}{4}+C.

Passo 5

Voltar à variável original substituindo u=\cos(x):
-\frac{u^{4}}{4}+C = -\frac{\cos^{4}(x)}{4}+C.
Esta é a primitiva procurada. Vou fazer uma verificação rápida por derivação para garantir que não houve erro.

Passo 6

Verificação por derivação (checar que a derivada da resposta é a integranda). Diferenciando F(x)=-\dfrac{\cos^{4}(x)}{4}+C:
F'(x)=-\frac{1}{4}\cdot 4\cos^{3}(x)\cdot\frac{d}{dx}\cos(x) = -\cos^{3}(x)\cdot(-\operatorname{sen}(x))=\cos^{3}(x)\,\operatorname{sen}(x).
A derivada coincide com a integranda, confirmação completa.

Resposta

-\dfrac{\cos^{4}(x)}{4}+C

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