Determine a posição inicial da partícula, ou seja,
.
Considere a trajetória
. Determine o vetor veloci genérico
.
Considere a trajetória
Passo 1
O enunciado dá a trajetória
e pede duas coisas:
- (A) a posição inicial da partícula, isto é
; - (B) o vetor velocidade genérico
(ou seja, o vetor velocidade como função de ).
As informações relevantes fornecidas são exatamente as três componentes de
:
e
.
Passo 2
Vou calcular a posição inicial usando a propriedade básica de limites de funções vetoriais: o limite de uma função vetorial existe e é o vetor formado pelos limites das componentes, desde que cada limite escalar exista. Em outras palavras, se
então
quando os três limites existem.
Aplicando isso às componentes dadas:
- Para a primeira componente:
(regra do polinômio: é contínuo). - Para a segunda componente:
(a função é contínua onde está definida). - Para a terceira componente:
(a exponencial é contínua).
Portanto
Passo 3
Agora vou encontrar o vetor velocidade genérico. Por definição, o vetor velocidade
de uma trajetória
é a derivada de
em relação a
:
A derivada de uma função vetorial é tomada componente a componente, então basta derivar cada componente escalar usando regras usuais (regra do poder, regra da cadeia, derivada de
, derivada da exponencial).
Derivadas das componentes:
-
(regra do poder). -
(regra da cadeia: derivada de é vezes , aqui e ). -
(regra da cadeia: derivada de é , aqui e ).
Logo o vetor velocidade genérico é
(Se no enunciado
representa o vetor velocidade, então
acima.)
Passo 4
Para completar a intuição: podemos avaliar a velocidade no instante inicial
. Substituindo em
,
Também é útil saber o vetor tangente unitário
, que é dado por
Em particular,