Determine a posição inicial da partícula, ou seja, \lim _{t \rightarrow 0} \vec{r}(t).
Considere a trajetória \vec{r}(t)=\left\langle t^{2}, \ln (1+t), e^{-t}\right\rangle. Determine o vetor veloci genérico \boldsymbol{t}.

Passo 1

O enunciado dá a trajetória
\vec{r}(t)=\left\langle t^{2},\\ \ln(1+t),\\ e^{-t}\right\rangle
e pede duas coisas:
  • (A) a posição inicial da partícula, isto é \displaystyle \lim_{t\to 0}\vec{r}(t);
  • (B) o vetor velocidade genérico \boldsymbol{t} (ou seja, o vetor velocidade como função de t).
As informações relevantes fornecidas são exatamente as três componentes de \vec{r}(t): \,t^{2}\,,\\ \ln(1+t)\, e \,e^{-t}\,.

Passo 2

Vou calcular a posição inicial usando a propriedade básica de limites de funções vetoriais: o limite de uma função vetorial existe e é o vetor formado pelos limites das componentes, desde que cada limite escalar exista. Em outras palavras, se
\vec{r}(t)=\langle x(t),\,y(t),\,z(t)\rangle,
então
\lim_{t\to 0}\vec{r}(t)=\left\langle \lim_{t\to 0}x(t),\\ \lim_{t\to 0}y(t),\\ \lim_{t\to 0}z(t)\right\rangle,
quando os três limites existem.
Aplicando isso às componentes dadas:
  • Para a primeira componente: \displaystyle \lim_{t\to 0} t^{2} = 0 (regra do polinômio: t^2 é contínuo).
  • Para a segunda componente: \displaystyle \lim_{t\to 0} \ln(1+t) = \ln(1)=0 (a função \ln é contínua onde está definida).
  • Para a terceira componente: \displaystyle \lim_{t\to 0} e^{-t} = e^{0}=1 (a exponencial é contínua).
Portanto
\lim_{t\to 0}\vec{r}(t)=\left\langle 0,\\\ 0,\\\ 1\right\rangle.

Passo 3

Agora vou encontrar o vetor velocidade genérico. Por definição, o vetor velocidade \vec{v}(t) de uma trajetória \vec{r}(t) é a derivada de \vec{r} em relação a t:
\vec{v}(t)=\vec{r}\,'(t)=\frac{d}{dt}\vec{r}(t).
A derivada de uma função vetorial é tomada componente a componente, então basta derivar cada componente escalar usando regras usuais (regra do poder, regra da cadeia, derivada de \ln, derivada da exponencial).
Derivadas das componentes:
  • \dfrac{d}{dt}\big(t^{2}\big)=2t (regra do poder).
  • \dfrac{d}{dt}\big(\ln(1+t)\big)=\dfrac{1}{1+t} (regra da cadeia: derivada de \ln(u) é 1/u vezes u', aqui u=1+t e u'=1).
  • \dfrac{d}{dt}\big(e^{-t}\big)=-e^{-t} (regra da cadeia: derivada de e^{u} é e^{u}u', aqui u=-t e u'=-1).
Logo o vetor velocidade genérico é
\vec{v}(t)=\vec{r}\,'(t)=\left\langle 2t,\\ \dfrac{1}{1+t},\\\ -e^{-t}\right\rangle.
(Se no enunciado \boldsymbol{t} representa o vetor velocidade, então \boldsymbol{t}(t)=\vec{v}(t) acima.)

Passo 4

Para completar a intuição: podemos avaliar a velocidade no instante inicial t=0. Substituindo em \vec{v}(t),
\vec{v}(0)=\left\langle 2\cdot 0,\\ \dfrac{1}{1+0},\\\ -e^{0}\right\rangle=\left\langle 0,\\\ 1,\\\ -1\right\rangle.
Também é útil saber o vetor tangente unitário \mathbf{T}(t), que é dado por
\mathbf{T}(t)=\frac{\vec{v}(t)}{\|\vec{v}(t)\|}, \qquad \|\vec{v}(t)\|=\sqrt{(2t)^{2}+\left(\dfrac{1}{1+t}\right)^{2}+(-e^{-t})^{2}}.
Em particular,
\mathbf{T}(0)=\frac{\langle 0,1,-1\rangle}{\sqrt{0^{2}+1^{2}+(-1)^{2}}}=\frac{\langle 0,1,-1\rangle}{\sqrt{2}}=\left\langle 0,\dfrac{1}{\sqrt{2}},-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right\rangle.

Resposta

\displaystyle \lim_{t\to 0}\vec{r}(t)=\left\langle 0,\\\ 0,\\\ 1\right\rangle
\displaystyle \boldsymbol{t}(t)=\vec{v}(t)=\left\langle 2t,\\ \dfrac{1}{1+t},\\\ -e^{-t}\right\rangle

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