\lim _{(x, y) \rightarrow\left(\frac{\pi}{2}, 0\right)} \operatorname{sen}\left(2 x+y^{2}\right)

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • A expressão cuja limite se quer é \lim_{(x,y)\rightarrow\left(\frac{\pi}{2},0\right)} \sin\!\bigl(2x+y^{2}\bigr).
  • O ponto de aproximação é \left(\dfrac{\pi}{2},0\right).
  • O que o enunciado pede: calcular o valor do limite acima (um único número).

Passo 2

Entendimento básico e ideia do método (sem formalidade excessiva).
  • Quando lidamos com limites de funções de duas variáveis, a ideia é ver o que a expressão dentro da função faz quando (x,y) se aproxima do ponto dado. Se a parte interna tende a um número L e a função externa (aqui o seno) for contínua em L, então o limite da composição é o seno de L.
  • Regras úteis que vou usar (explicadas de forma simples):
    • Soma e produto preservam limites: se \lim_{(x,y)\to(a,b)} u(x,y)=U e \lim_{(x,y)\to(a,b)} v(x,y)=V então \lim (u+v)=U+V e \lim (u\cdot v)=U\cdot V.
    • Potência polinomial é contínua: se \lim y = 0 então \lim y^{2}=0.
    • A função seno é contínua em todo número real: isto significa que \lim_{t\to T}\sin t = \sin T para qualquer T.
  • Com isso, o plano é: primeiro calcular o limite do argumento \,2x+y^{2}\, quando (x,y)\to\left(\dfrac{\pi}{2},0\right). Em seguida aplicar a continuidade do \sin.

Passo 3

Calcular o limite do argumento \,2x+y^{2}\,.
  • Separei a expressão em duas partes: 2x e y^{2}.
  • Sabendo que quando (x,y)\rightarrow\left(\dfrac{\pi}{2},0\right) temos \lim_{(x,y)\to(\pi/2,0)} x = \dfrac{\pi}{2} e \lim_{(x,y)\to(\pi/2,0)} y = 0.
  • Usando as regras de limites:
    • \displaystyle \lim_{(x,y)\to(\pi/2,0)} 2x = 2\cdot\lim_{(x,y)\to(\pi/2,0)} x = 2\cdot\frac{\pi}{2} = \pi.
    • \displaystyle \lim_{(x,y)\to(\pi/2,0)} y^{2} = \bigl(\lim_{(x,y)\to(\pi/2,0)} y\bigr)^{2} = 0^{2} = 0.
  • Somando as duas partes: \lim_{(x,y)\to(\pi/2,0)} \bigl(2x+y^{2}\bigr) = \pi + 0 = \pi.

Passo 4

Aplicar a continuidade do seno à composição.
  • Como a função \sin é contínua em todo ponto, em particular em t=\pi, vale \lim_{(x,y)\to(\pi/2,0)} \sin\!\bigl(2x+y^{2}\bigr) = \sin\!\Bigl(\lim_{(x,y)\to(\pi/2,0)} \bigl(2x+y^{2}\bigr)\Bigr).
  • Substituindo o limite interno que encontramos ( \pi): \sin\!\Bigl(\lim_{(x,y)\to(\pi/2,0)} \bigl(2x+y^{2}\bigr)\Bigr) = \sin(\pi).
  • E \sin(\pi)=0.

Resposta

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