Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- A expressão cuja limite se quer é
- O ponto de aproximação é
. - O que o enunciado pede: calcular o valor do limite acima (um único número).
Passo 2
Entendimento básico e ideia do método (sem formalidade excessiva).
- Quando lidamos com limites de funções de duas variáveis, a ideia é ver o que a expressão dentro da função faz quando
se aproxima do ponto dado. Se a parte interna tende a um número e a função externa (aqui o seno) for contínua em , então o limite da composição é o seno de . - Regras úteis que vou usar (explicadas de forma simples):
- Soma e produto preservam limites: se
e então e . - Potência polinomial é contínua: se
então . - A função seno é contínua em todo número real: isto significa que
para qualquer .
- Soma e produto preservam limites: se
- Com isso, o plano é: primeiro calcular o limite do argumento
quando . Em seguida aplicar a continuidade do .
Passo 3
Calcular o limite do argumento
.
- Separei a expressão em duas partes:
e . - Sabendo que quando
temos e . - Usando as regras de limites:
-
- Somando as duas partes:
Passo 4
Aplicar a continuidade do seno à composição.
- Como a função
é contínua em todo ponto, em particular em , vale - Substituindo o limite interno que encontramos (
): - E
.