Passo 1
O que o problema pede e o que temos: precisamos calcular
Ou seja, ao aproximar o par
do ponto
por quaisquer caminhos no plano, qual é o valor da função
? Se esse valor for o mesmo para todos os caminhos, o limite existe e é esse valor; se variar com o caminho, o limite não existe.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A função é
. - O ponto de interesse é
. - Note que a função não está definida em
(denominador zero), então consideramos apenas o comportamento quando se aproxima de .
Passo 2
Estratégia para decidir se o limite existe: em limites de funções de duas variáveis uma técnica direta é testar o valor da função ao longo de diferentes caminhos que vão para
. Se encontrar dois caminhos que dão limites diferentes, isso prova que o limite total não existe. Vou aplicar essa técnica com caminhos simples (e também mostrar a visão em coordenadas polares, que explica por que isso acontece).
Antes de calcular, lembro do raciocínio por trás do método dos caminhos:
- Se
existe, então para qualquer caminho que leve a o limite ao longo desse caminho também deve ser . - Portanto, encontrar dois caminhos com limites diferentes implica que o limite total não existe.
Passo 3
Teste do caminho
(chegar ao ponto pela reta do eixo
):
Substituindo em
obtemos
Substituindo
Portanto, ao aproximar
de
pela reta
, o valor da função tende para
. Em notação de limite ao longo desse caminho:
Passo 4
Teste do caminho
(chegar ao ponto pela reta do eixo
):
Substituindo obtemos
Substituindo
Assim, ao aproximar pela reta
, o valor da função tende para
:
Passo 5
Interpretação dos resultados dos dois caminhos: obtivemos limites distintos para dois caminhos (um deu
, outro deu
). Isso já é suficiente para concluir que o limite geral não existe, pois se existisse teria que ter o mesmo valor em qualquer caminho. Vou, porém, reforçar a explicação mostrando a dependência do caminho de forma mais geral (reta
e coordenadas polares), para você entender completamente o porquê.
Passo 6
Teste do caminho geral
(reta passando pela origem com inclinação
):
Substituindo na função:
Substituindo
para
. Note que este valor não depende de
(apenas de
), então ao aproximar
ao longo dessa reta o limite é
Como esse valor varia com
(por exemplo,
dá
,
efetivamente corresponde a
e dá
, ou escolha
dá
), vemos novamente que diferentes retas dão diferentes limites.
Passo 7
Visão em coordenadas polares (intuição compacta): escrevendo
e
, com
e
fixo, temos
pois
e
. Assim, ao aproximar
o valor da função fica igual a
, que depende de
. Como
representa a direção pela qual se aproxima a origem, o valor do limite depende da direção: não há um único valor independente do caminho. Isso confirma de maneira elegante que o limite não existe.
Passo 8
Conclusão final e incentivo: encontramos caminhos que dão limites diferentes (
e
), e em coordenadas polares vimos que o valor tende a
, que depende da direção
. Portanto o limite não existe. Sei que essas coisas de limites multidimensionais parecem traiçoeiras no começo, mas testar retas simples e usar polares costuma resolver a maioria das questões — você está indo bem!
Resposta
O limite não existe.