\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}

Passo 1

O que o problema pede e o que temos: precisamos calcular
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}.
Ou seja, ao aproximar o par (x,y) do ponto (0,0) por quaisquer caminhos no plano, qual é o valor da função \displaystyle \frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}? Se esse valor for o mesmo para todos os caminhos, o limite existe e é esse valor; se variar com o caminho, o limite não existe.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A função é \displaystyle f(x,y)=\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}.
  • O ponto de interesse é (0,0).
  • Note que a função não está definida em (0,0) (denominador zero), então consideramos apenas o comportamento quando (x,y) se aproxima de (0,0).

Passo 2

Estratégia para decidir se o limite existe: em limites de funções de duas variáveis uma técnica direta é testar o valor da função ao longo de diferentes caminhos que vão para (0,0). Se encontrar dois caminhos que dão limites diferentes, isso prova que o limite total não existe. Vou aplicar essa técnica com caminhos simples (e também mostrar a visão em coordenadas polares, que explica por que isso acontece).
Antes de calcular, lembro do raciocínio por trás do método dos caminhos:
  • Se \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=L existe, então para qualquer caminho que leve a (0,0) o limite ao longo desse caminho também deve ser L.
  • Portanto, encontrar dois caminhos com limites diferentes implica que o limite total não existe.

Passo 3

Teste do caminho y=0 (chegar ao ponto pela reta do eixo x):
Substituindo y=0 em \displaystyle \frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}} obtemos
\frac{x^{2}-0^{2}}{x^{2}+0^{2}}=\frac{x^{2}}{x^{2}}=1\qquad (x\neq0).
Portanto, ao aproximar (x,y) de (0,0) pela reta y=0, o valor da função tende para 1. Em notação de limite ao longo desse caminho:
\lim_{x\to0} \frac{x^{2}-0}{x^{2}+0}=1.

Passo 4

Teste do caminho x=0 (chegar ao ponto pela reta do eixo y):
Substituindo x=0 obtemos
\frac{0^{2}-y^{2}}{0^{2}+y^{2}}=\frac{-y^{2}}{y^{2}}=-1\qquad (y\neq0).
Assim, ao aproximar pela reta x=0, o valor da função tende para -1:
\lim_{y\to0} \frac{0-y^{2}}{0+y^{2}}=-1.

Passo 5

Interpretação dos resultados dos dois caminhos: obtivemos limites distintos para dois caminhos (um deu 1, outro deu -1). Isso já é suficiente para concluir que o limite geral não existe, pois se existisse teria que ter o mesmo valor em qualquer caminho. Vou, porém, reforçar a explicação mostrando a dependência do caminho de forma mais geral (reta y=mx e coordenadas polares), para você entender completamente o porquê.

Passo 6

Teste do caminho geral y=m x (reta passando pela origem com inclinação m\in\mathbb{R}):
Substituindo y=m x na função:
\frac{x^{2}-(m x)^{2}}{x^{2}+(m x)^{2}} =\frac{x^{2}-m^{2}x^{2}}{x^{2}+m^{2}x^{2}} =\frac{1-m^{2}}{1+m^{2}},
para x\neq0. Note que este valor não depende de x (apenas de m), então ao aproximar x\to0 ao longo dessa reta o limite é
\frac{1-m^{2}}{1+m^{2}}.
Como esse valor varia com m (por exemplo, m=0 1, m\to\infty efetivamente corresponde a x=0 e dá -1, ou escolha m=1 0), vemos novamente que diferentes retas dão diferentes limites.

Passo 7

Visão em coordenadas polares (intuição compacta): escrevendo x=r\cos\theta e y=r\sin\theta, com r\to0^{+} e \theta fixo, temos
\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}} =\frac{r^{2}\cos^{2}\theta - r^{2}\sin^{2}\theta}{r^{2}\cos^{2}\theta + r^{2}\sin^{2}\theta} =\frac{\cos^{2}\theta - \sin^{2}\theta}{\cos^{2}\theta + \sin^{2}\theta} =\cos(2\theta),
pois \cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta=1 e \cos^{2}\theta-\sin^{2}\theta=\cos(2\theta). Assim, ao aproximar r\to0 o valor da função fica igual a \cos(2\theta), que depende de \theta. Como \theta representa a direção pela qual se aproxima a origem, o valor do limite depende da direção: não há um único valor independente do caminho. Isso confirma de maneira elegante que o limite não existe.

Passo 8

Conclusão final e incentivo: encontramos caminhos que dão limites diferentes ( 1 e -1), e em coordenadas polares vimos que o valor tende a \cos(2\theta), que depende da direção \theta. Portanto o limite não existe. Sei que essas coisas de limites multidimensionais parecem traiçoeiras no começo, mas testar retas simples e usar polares costuma resolver a maioria das questões — você está indo bem!

Resposta

O limite não existe.

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